Un conjunto contable aleatorio de puntos en un espacio medible tal que el número de puntos en subconjuntos medibles disjuntos es independiente y cada recuento sigue una distribución de Poisson con media dada por una medida de intensidad; el proceso se caracteriza por su intensidad.

Principio

Aleatoriedad espacial completa: independencia de los recuentos en conjuntos disjuntos junto con estadísticas de Poisson para cada conjunto, determinadas por una medida de intensidad que puede ser constante (homogénea) o espacialmente variable (inhomogénea).

Demostración

En R^d con la medida de Lebesgue e intensidad constante λ>0, el proceso puntual de Poisson homogéneo satisface para cualquier B acotado P(N(B)=k)=exp(-λ|B|)(λ|B|)^k/k! y, condicionado a N(B)=k, los puntos están uniformemente distribuidos en B.

Aplicación incorrecta

Usar un proceso puntual de Poisson para modelar fenómenos con fuerte repulsión o agrupamiento (por ejemplo, electrones con repulsión coulombiana), ignorando interacciones que violan la independencia en conjuntos disjuntos.

Consecuencia

Admite caracterizaciones funcionales simples (funcional de Laplace, probabilidades de vacío), reglas de afinamiento (thinning) y superposición, y sirve como modelo nulo de aleatoriedad espacial frente al que se prueban modelos con interacción.

Inversión

Un proceso puntual determinantal o de Gibbs codifica interacción (repulsión o atracción) entre puntos; invertir la hipótesis de Poisson reemplaza la independencia por una estructura de correlación especificada.

Límite

Válido para fenómenos donde los recuentos en conjuntos disjuntos son aproximadamente independientes y la medida de intensidad es σ-finita; excluye procesos con número total fijo (proceso binomial) o aquellos definidos solo por intensidades condicionales que dependen de puntos previos.

Tensión semántica

Tensión con el proceso puntual binomial: ambos colocan puntos en una región, pero el proceso binomial condiciona en un número fijo de puntos mientras que el proceso de Poisson tiene recuentos aleatorios con ley de Poisson.

Síntesis

Un proceso puntual de Poisson es el modelo canónico de aleatoriedad completa en un espacio medible: recuentos independientes de ley de Poisson en conjuntos disjuntos con distribución determinada por una medida de intensidad.