Un ensemble aléatoire dénombrable de points sur un espace mesuré tel que le nombre de points dans des sous-ensembles mesurables disjoints soit indépendant et que chaque nombre suive une loi de Poisson d'espérance donnée par une mesure d'intensité ; le processus est caractérisé par son intensité.

Principe

Aléa spatial complet : indépendance des nombres sur des ensembles disjoints conjuguée à des statistiques de Poisson pour chaque ensemble, déterminées par une mesure d'intensité éventuellement homogène (constante) ou inhomogène (variant spatialement).

Démonstration

Sur R^d muni de la mesure de Lebesgue et d'une intensité constante λ>0, le processus ponctuel de Poisson homogène vérifie pour tout borélien borné B P(N(B)=k)=exp(-λ|B|)(λ|B|)^k/k! et, conditionnellement à N(B)=k, les points sont uniformes dans B.

Mauvaise application

Utiliser un processus ponctuel de Poisson pour modéliser des phénomènes avec forte répulsion ou agrégation (par ex. électrons avec répulsion coulombienne), en ignorant des interactions qui violent l'indépendance sur des ensembles disjoints.

Conséquence

Admet des caractérisations fonctionnelles simples (fonctionnelle de Laplace, probabilités de vide), des règles d'amincissement et de superposition, et sert de modèle nul pour l'aléatoire spatial contre lequel on teste des modèles d'interaction.

Inversion

Un processus ponctuel déterminantal ou de Gibbs encode des interactions (répulsion ou attraction) entre points ; inverser l'hypothèse de Poisson remplace l'indépendance par une structure de corrélation spécifiée.

Limite

Valable pour des phénomènes où les comptes sur des ensembles disjoints sont approximativement indépendants et la mesure d'intensité σ-finie ; exclut les processus au nombre total fixé (processus binomial) ou ceux définis uniquement par des intensités conditionnelles dépendant des points passés.

Tension sémantique

Tension avec le processus binomial ponctuel : les deux placent des points dans une région, mais le processus binomial conditionne sur un nombre fixé de points alors que le processus de Poisson a des comptes aléatoires de loi de Poisson.

Synthèse

Un processus ponctuel de Poisson est le modèle canonique d'aléa complet sur un espace mesuré : des comptes indépendants de loi de Poisson sur des ensembles disjoints, déterminés par une mesure d'intensité.