Eine numerische Methode, die bestimmte Integrale durch Mittelung der Integrandwerte schätzt, die an zufällig aus einer gewählten Wahrscheinlichkeitsverteilung über dem Gebiet gezogenen Punkten ausgewertet werden.

Prinzip

Verwende Zufallsstichproben, sodass das Stichprobenmittel der Integrandbewertungen nach dem Gesetz der großen Zahlen gegen das Integral konvergiert; die Varianz steuert die Genauigkeit.

Demonstration

Schätze das Integral von f(x)=exp(-|x|) über einen hochdimensionalen Einheitswürfel, indem N unabhängige uniforme Stichproben gezogen und der Mittelwert f(x) berechnet wird; Erhöhung von N reduziert den Monte-Carlo-Fehler ≈ O(N^{-1/2}).

Fehlanwendung

Naives Zufallsstichprobenverfahren in sehr hoher Dimension ohne Varianzreduktion (Importance Sampling, Schichtung) oder zu kleines N anwenden, was irreführend laute Schätzungen ergibt.

Konsequenz

Bietet eine dimensionsskalable Approximation, wo deterministische Quadratur unpraktisch ist; der Fehler nimmt stochastisch ab und lässt sich durch Stichprobenvarianz quantifizieren.

Umkehrung

Deterministische Quadratur- oder Interpolationsmethoden konvergieren schneller für glatte, niedrigdimensionale Integranden, skalieren jedoch typischerweise nicht zu sehr hohen Dimensionen.

Abgrenzung

Erfordert, dass der Integrand unter der Stichprobenverteilung integrierbar ist; ungeeignet, wenn der Integrand unter dem Vorschlag unendliche Varianz hat oder wenn eine exakte symbolische Integration verfügbar und vorzuziehen ist.

Semantische Spannung

Gegenüberstellung zu deterministischen Kubaturverfahren und zu quasi-zufälligen (niedriger Diskrepanz) Sequenzen; die Spannung liegt zwischen stochastischem O(N^{-1/2})-Konvergenzverhalten und schnelleren Raten deterministischer Methoden.

Synthese

Monte-Carlo-Integration approximiert Integrale durch zufälliges Abtasten und Mittelung; sie tauscht Konvergenzgeschwindigkeit gegen Robustheit gegenüber Dimension und komplizierten Gebieten ein, wobei die Genauigkeit vom Varianzmanagement abhängt.