Un método numérico que estima integrales definidas promediando los valores de la integranda evaluados en puntos muestreados aleatoriamente según una distribución de probabilidad elegida sobre el dominio.

Principio

Usar muestreo aleatorio de modo que la media muestral de las evaluaciones de la integranda converja hacia la integral por el teorema de los grandes números; la varianza controla la precisión.

Demostración

Estimar la integral de f(x)=exp(-|x|) sobre un cubo unidad de alta dimensión tomando N muestras uniformes independientes y calculando la media f(x); aumentar N reduce el error Monte Carlo ≈ O(N^{-1/2}).

Aplicación incorrecta

Aplicar muestreo aleatorio ingenuo en dimensiones muy altas sin reducción de varianza (muestreo por importancia, estratificación) o usar N demasiado pequeño, produciendo estimaciones demasiado ruidosas.

Consecuencia

Proporciona una aproximación escalable en dimensión allí donde la cuadratura determinista es inviable; el error disminuye de forma estocástica y puede cuantificarse mediante la varianza muestral.

Inversión

Los métodos deterministas de cuadratura o interpolación convergen más rápido para integrandas suaves en baja dimensión, pero no suelen escalar a dimensiones muy altas.

Límite

Requiere que la integranda sea integrable respecto a la ley de muestreo; no es adecuado cuando la integranda tiene varianza infinita bajo la propuesta o cuando la integración simbólica exacta está disponible y es preferible.

Tensión semántica

Contrasta con la cubatura determinista y con secuencias cuasi-aleatorias (baja discrepancia); la tensión está entre la convergencia estocástica O(N^{-1/2}) y tasas más rápidas de métodos deterministas estructurados.

Síntesis

La integración Monte Carlo aproxima integrales mediante muestreo aleatorio y promedio; cambia la velocidad de convergencia por robustez frente a la dimensión y dominios complicados, con la precisión gobernada por el control de la varianza.