Une méthode numérique qui estime des intégrales définies en moyennant les valeurs de l'intégrande évaluées en points échantillonnés aléatoirement selon une distribution de probabilité choisie sur le domaine.

Principe

Utiliser l'échantillonnage aléatoire de sorte que la moyenne d'échantillon des évaluations de l'intégrande converge vers l'intégrale par la loi des grands nombres ; la variance gouverne la précision.

Démonstration

Estimer l'intégrale de f(x)=exp(-|x|) sur un hypercube unité de haute dimension en tirant N échantillons uniformes indépendants et en calculant la moyenne f(x) ; augmenter N réduit l'erreur Monte Carlo ≈ O(N^{-1/2}).

Mauvaise application

Utiliser un échantillonnage aléatoire naïf en très haute dimension sans réduction de variance (échantillonnage d'importance, stratification) ou avec N trop petit, produisant des estimations trop bruitées.

Conséquence

Fournit une approximation évolutive en dimension lorsque les méthodes quadratures déterministes sont impraticables ; l'erreur décroît de manière stochastique et peut être quantifiée par la variance de l'échantillon.

Inversion

Les méthodes de quadrature déterministes ou d'interpolation convergent plus rapidement pour des intégrandes lisses en basse dimension mais ne s'adaptent généralement pas bien aux très hautes dimensions.

Limite

Nécessite que l'intégrande soit intégrable sous la loi d'échantillonnage ; inadaptée quand l'intégrande a une variance infinie sous la proposition ou quand une intégration symbolique exacte est disponible et préférable.

Tension sémantique

Se distingue des cubatures déterministes et des séquences quasi-aléatoires (faible discordance) ; la tension porte sur la convergence stochastique en O(N^{-1/2}) versus des taux plus rapides pour des méthodes déterministes structurées.

Synthèse

L'intégration Monte Carlo approxime les intégrales par échantillonnage aléatoire et moyennage ; elle échange la vitesse de convergence statistique contre la robustesse en dimension et sur des domaines compliqués, l'exactitude dépendant du contrôle de la variance.