Ein nichtnuller Vektor in einem Vektorraum, den ein zugehöriger linearer Operator auf ein skalares Vielfaches von sich selbst abbildet, sodass der Operator in dieser eindimensionalen Richtung lediglich skaliert (nicht rotiert).

Prinzip

Eine invariante Richtung einer linearen Transformation: die Anwendung des Operators ändert die Richtung des Vektors nicht, sondern nur seine Größe um einen skalaren Faktor, der die Wirkung auf dieser Richtung charakterisiert.

Demonstration

Bei einer Diagonalmatrix mit Diagonaleinträgen 2 und 3 werden die Standardbasisvektoren jeweils auf skalierte Kopien (mit Faktoren 2 bzw. 3) abgebildet; diese Basisvektoren sind Eigenvektoren der Matrix und spannen invariante Koordinatenrichtungen auf.

Fehlanwendung

Ein Eigenvektor mit einem Vektor des Kerns (auf null abgebildet) zu verwechseln oder zu erwarten, dass jeder Vektor in unabhängige Eigenvektoren zerlegbar ist, wenn der Operator nicht über ein vollständiges System linear unabhängiger invarianten Richtungen verfügt (defekte Operatoren).

Konsequenz

Wenn ein linearer Operator über eine Basis solcher invarianten Vektoren verfügt, ist er diagonaliserbar und viele Rechnungen (Potenzierung, Exponential, spektrale Zerlegung) reduzieren sich auf skalare Operationen in diesen Richtungen.

Umkehrung

Vektoren, die keine invarianten Richtungen sind: Allgemeine Vektoren werden durch den Operator typischerweise in andere Richtungen abgebildet, und ihre Bilder müssen mittels Zerlegung in invariante Unterräume analysiert werden.

Abgrenzung

Das Konzept gilt für lineare Abbildungen auf Vektorräumen (endlich- oder unendlichdimensional) über Körpern; es gilt nicht direkt für nichtlineare Abbildungen, außer man betrachtet die Linearisierung um einen Punkt oder verallgemeinerte invariante Strukturen wie Unterräume ohne reine Skalierung.

Semantische Spannung

In Spannung zu Singulärvektoren (aus der Singulärwertzerlegung): Singulärvektoren sind orthogonale Richtungen, die die quadratische Form A^T A diagonalisiert und Eingangs-/Ausgangsnormen charakterisieren, während Eigenvektoren den Operator selbst diagonalisiert und vom möglicherweise nicht-normalen Charakter abhängt.

Synthese

Ein Eigenvektor ist ein nichtnuller Vektor, der eine eindimensionale invariante Richtung eines linearen Operators bestimmt, auf der der Operator ausschließlich durch Multiplikation mit einem skalaren Faktor wirkt; Mengen solcher Richtungen strukturieren die reduzierte Wirkung des Operators.