Un vector no nulo en un espacio vectorial que un operador lineal asociado envía a un múltiplo escalar de sí mismo, de modo que el operador actúa por escalado (no por rotación) en esa dirección unidimensional.

Principio

Una dirección invariante de una transformación lineal: aplicar el operador no cambia la dirección del vector, solo su magnitud por un factor escalar que caracteriza la acción en esa dirección.

Demostración

Para una matriz diagonal con entradas diagonales 2 y 3, los vectores de la base estándar se mapean cada uno a copias escaladas (por factores 2 y 3 respectivamente), por lo que esos vectores de base son vectores propios de la matriz y generan direcciones coordenadas invariantes.

Aplicación incorrecta

Confundir un vector propio con un vector del núcleo (mapeado a cero) o asumir que todo vector se descompone en vectores propios independientes cuando el operador carece de un conjunto completo de direcciones invariantes linealmente independientes (operadores defectuosos).

Consecuencia

Cuando un operador lineal admite una base de tales vectores invariantes, es diagonalizable y muchos cálculos (potencias, exponenciales, descomposiciones espectrales) se reducen a operaciones escalares en esas direcciones.

Inversión

Vectores que no son direcciones invariantes: los vectores generales normalmente son mapeados a direcciones diferentes por el operador, y sus imágenes requieren descomposición en subespacios invariantes para analizar su comportamiento.

Límite

El concepto se aplica a mapas lineales en espacios vectoriales (de dimensión finita o infinita) sobre cuerpos; no se aplica directamente a mapas no lineales salvo al considerar la linearización alrededor de un punto o estructuras invariantes generalizadas como subespacios sin escalado puro.

Tensión semántica

En tensión con los vectores singulares (de la descomposición en valores singulares): los vectores singulares son direcciones ortogonales que diagonalizan la forma cuadrática A^T A y caracterizan normas entrada/salida, mientras que los vectores propios diagonalizan el operador en sí y dependen de su carácter posiblemente no normal.

Síntesis

Un vector propio es un vector no nulo que define una dirección unidimensional invariante de un operador lineal, sobre la cual el operador actúa únicamente multiplicando por un factor escalar; colecciones de estas direcciones organizan la acción reducida del operador.