Un vecteur non nul d'un espace vectoriel qu'un opérateur linéaire associe à un multiple scalaire de lui-même, de sorte que l'opérateur agit par homothétie (et non par rotation) sur cette direction unidimensionnelle.

Principe

Une direction invariante d'une transformation linéaire : l'application de l'opérateur ne change pas la direction du vecteur, seulement sa norme par un facteur scalaire qui caractérise l'action sur cette direction.

Démonstration

Pour une matrice diagonale avec des éléments diagonaux 2 et 3, les vecteurs de la base canonique sont chacun envoyés sur des copies mises à l'échelle (par les facteurs 2 et 3 respectivement), donc ces vecteurs de base sont des vecteurs propres de la matrice et engendrent des directions coordonnées invariantes.

Mauvaise application

Confondre un vecteur propre avec un vecteur du noyau (envoyé sur zéro) ou considérer que tout vecteur se décompose en vecteurs propres indépendants lorsque l'opérateur n'admet pas un ensemble complet de directions invariantes linéairement indépendantes (opérateurs défectifs).

Conséquence

Lorsqu'un opérateur linéaire admet une base de telles directions invariantes, il est diagonalable et de nombreux calculs (puissances, exponentielles, décompositions spectrales) se réduisent à des opérations scalaires sur ces directions.

Inversion

Vecteurs qui ne sont pas des directions invariantes : les vecteurs généraux sont typiquement envoyés vers d'autres directions par l'opérateur, et leurs images nécessitent une décomposition en sous-espaces invariants pour analyser le comportement.

Limite

Le concept s'applique aux applications linéaires sur des espaces vectoriels (de dimension finie ou infinie) sur des corps ; il ne s'applique pas directement aux applications non linéaires sauf en considérant la linéarisation autour d'un point ou des structures invariantes généralisées comme des sous-espaces invariants sans mise à l'échelle pure.

Tension sémantique

Proche des vecteurs singuliers (de la décomposition en valeurs singulières) : les vecteurs singuliers sont des directions orthogonales qui diagonalise la forme quadratique A^T A et caractérisent des normes entrée/sortie, tandis que les vecteurs propres diagonalisent l'opérateur lui-même et dépendent de son caractère possiblement non normal.

Synthèse

Un vecteur propre est un vecteur non nul définissant une direction unidimensionnelle invariante d'un opérateur linéaire, sur laquelle l'opérateur agit uniquement par multiplication par un facteur scalaire ; l'ensemble de ces directions organise l'action réduite de l'opérateur.