Eine Eigenschaft eines Gleichgewichts (oder einer invarianten Menge) eines dynamischen Systems, wonach für jede vorgegebene Größe einer Umgebung des Gleichgewichts eine eventuell kleinere Umgebung von Anfangszuständen existiert, sodass alle Trajektorien, die in dieser kleineren Umgebung starten, für alle zukünftigen Zeiten innerhalb der vorgegebenen Umgebung bleiben.

Prinzip

Kleine Störungen der Anfangsbedingungen führen nur zu gleichmäßig kleinen Abweichungen der Trajektorien für alle Vorwärtszeiten; das Gleichgewicht hält Störungen im Sinne der Beschränktheit stand, nicht notwendigerweise durch Konvergenz.

Demonstration

Ein gedämpfter mechanischer Oszillator mit linearer viskoser Dämpfung liefert Trajektorien, die, wenn sie ausreichend nahe an der Ruhelage initialisiert werden, immer innerhalb einer vorgegebenen Amplitudenbegrenzung bleiben — die Ruhelage ist damit Lyapunov-stabil (nicht zwingend asymptotisch stabil ohne ausreichend Dissipation).

Fehlanwendung

Die Lyapunov-Stabilität mit asymptotischer oder exponentieller Stabilität gleichzusetzen (Konvergenz zum Gleichgewicht) oder einen linearen Test anzuwenden, ohne zu prüfen, ob die Linearisierung das nichtlineare Verhalten im relevanten Nachbarschaftsbereich erfasst.

Konsequenz

Die Feststellung von Lyapunov-Stabilität verschafft Kontrolle über die langfristige Beschränktheit von Störungen und ist eine Voraussetzung für stärkere Stabilitätsbegriffe, die in der Regelungstechnik und Robustheitsanalyse verwendet werden.

Umkehrung

Instabilität: Es existiert eine beliebig kleine Störung, die Trajektorien erzeugt, welche irgendeine vorgegebene Umgebung des Gleichgewichts zu einem zukünftigen Zeitpunkt verlassen, was auf Sensitivität und mögliche Divergenz hinweist.

Abgrenzung

Bezieht sich auf deterministische dynamische Systeme und topologische Umgebungen im Zustandsraum; beschreibt nicht von sich aus Konvergenzraten, endzeitliches Verhalten oder probabilistische/stochastische Stabilität ohne zusätzliche Struktur.

Semantische Spannung

In Nähe zur strukturellen Stabilität (Persistenz des qualitativen Verhaltens unter Systemstörungen): Lyapunov-Stabilität betrifft die Robustheit der Trajektorien nahe einem Gleichgewicht, strukturelle Stabilität dagegen die Robustheit des Phasenporträts bei Veränderung des Vektorfeldes.

Synthese

Lyapunov-Stabilität kennzeichnet Gleichgewichte, deren nahe Trajektorien für alle zukünftigen Zeiten innerhalb beliebig vorgegebener Umgebungen gleichmäßig beschränkt bleiben und formalisiert die Vorstellung, dass kleine Anfangsstörungen nicht unkontrolliert wachsen.