Una propiedad de un equilibrio (o conjunto invariante) de un sistema dinámico por la cual, para cualquier tamaño de vecindad del equilibrio existe una vecindad posiblemente más pequeña de condiciones iniciales tal que todas las trayectorias que parten de esa vecindad más pequeña permanecen dentro de la vecindad prescrita para todo tiempo futuro.

Principio

Pequeñas perturbaciones de las condiciones iniciales producen únicamente desviaciones uniformemente pequeñas de las trayectorias para todo tiempo hacia adelante; el equilibrio resiste perturbaciones en el sentido de acotamiento, sin implicar necesariamente convergencia.

Demostración

Un oscilador mecánico amortiguado con fricción viscosa lineal muestra trayectorias que, si se inicializan suficientemente cerca de la posición de reposo, nunca salen de una cota de amplitud prefijada para todo tiempo futuro — por tanto la posición de reposo es estable en el sentido de Lyapunov (no necesariamente asintóticamente estable sin disipación adecuada).

Aplicación incorrecta

Igualar la estabilidad de Lyapunov con estabilidad asintótica o exponencial (convergencia al equilibrio) o usar una prueba lineal sin validar que la linealización capture el comportamiento no lineal en la vecindad de interés.

Consecuencia

Establecer estabilidad de Lyapunov proporciona control sobre la acotación a largo plazo de perturbaciones y es requisito para nociones más fuertes de estabilidad usadas en diseño de control y análisis de robustez.

Inversión

Inestabilidad: existe alguna perturbación arbitrariamente pequeña que genera trayectorias que abandonan cualquier vecindad preasignada del equilibrio en algún tiempo futuro, indicando sensibilidad y posible divergencia.

Límite

Se ocupa de sistemas dinámicos deterministas y vecindades topológicas en el espacio de estados; por sí sola no describe tasas de convergencia, comportamiento en tiempo finito o nociones probabilísticas/estocásticas de estabilidad sin estructura adicional.

Tensión semántica

Próxima a la estabilidad estructural (persistencia del comportamiento cualitativo ante perturbaciones): la estabilidad de Lyapunov se refiere a la robustez de trayectorias cercanas a un equilibrio, mientras que la estabilidad estructural se refiere a la robustez del retrato de fase ante cambios en el campo vectorial.

Síntesis

La estabilidad en el sentido de Lyapunov caracteriza equilibrios cuyas trayectorias cercanas permanecen uniformemente acotadas dentro de cualquier vecindad prescrita para todo tiempo futuro, formalizando la idea de que pequeñas perturbaciones iniciales no crecen sin control.