Propriété d'un équilibre (ou d'un ensemble invariant) d'un système dynamique selon laquelle, pour toute taille de voisinage autour de l'équilibre il existe un voisinage éventuellement plus petit d'conditions initiales telles que toutes les trajectoires issues de ce voisinage plus petit restent dans le voisinage prescrit pour tout temps futur.

Principe

De petites perturbations des conditions initiales entraînent uniquement des déviations uniformément petites des trajectoires pour tout temps futur ; l'équilibre résiste aux perturbations en termes de bornes, sans garantir nécessairement la convergence.

Démonstration

Un oscillateur mécanique amorti avec frottement visqueux linéaire conduit à des trajectoires qui, si elles sont initialisées suffisamment près de la position d'équilibre, ne dépassent jamais une amplitude prédéfinie pour tout temps futur — l'équilibre est donc stable au sens de Lyapunov (pas nécessairement asymptotiquement sans dissipation suffisante).

Mauvaise application

Assimiler la stabilité au sens de Lyapunov à la stabilité asymptotique ou exponentielle (convergence vers l'équilibre) ou utiliser un test linéaire sans vérifier que la linéarisation décrit bien le comportement non linéaire dans le voisinage étudié.

Conséquence

Établir la stabilité au sens de Lyapunov donne un contrôle sur la bornitude à long terme des perturbations et constitue un prérequis pour des notions de stabilité plus fortes utilisées en conception de contrôle et analyse de robustesse.

Inversion

Instabilité : il existe une perturbation arbitrairement petite produisant des trajectoires qui quittent tout voisinage prédéfini de l'équilibre à un temps futur donné, indiquant sensibilité et divergence possible.

Limite

Concerne des systèmes dynamiques déterministes et des voisinages topologiques dans l'espace d'états ; ne décrit pas à lui seul des taux de convergence, des comportements en temps fini ou des notions de stabilité probabiliste/stochastique sans structure additionnelle.

Tension sémantique

Proche de la stabilité structurelle (persistance du comportement qualitatif sous perturbation) : la stabilité de Lyapunov vise la robustesse des trajectoires proches d'un équilibre, tandis que la stabilité structurelle concerne la robustesse du portrait de phase sous modification du champ de vecteurs.

Synthèse

La stabilité au sens de Lyapunov caractérise des équilibres dont les trajectoires proches restent uniformément bornées à l'intérieur de tout voisinage prescrit pour tout temps futur, formalisant l'idée que de petites perturbations initiales ne croissent pas de manière incontrôlée.