Eine Funktion, die jeder Frequenz einen nichtnegativen Gewichtswert zuordnet und beschreibt, wie die Varianz oder Leistung eines stationären Signals oder Prozesses über zeitliche Frequenzen verteilt ist; sie dient als Frequenzbereichsbeschreibung der Struktur zweiten Grades.

Prinzip

Die statistischen Abhängigkeiten zweiten Grades einer Zeitreihe — ihre Autokovarianzen für verschiedene Verzögerungen — lassen sich so darstellen, dass Beiträge nach Frequenz aufgeteilt werden; die Spektraldichte fasst diese Beiträge zusammen, sodass Filter- und Resonanzeigenschaften als frequenzselektive Gewichtung ausgedrückt werden können.

Demonstration

Für eine idealisierte unkorrelierte Weißsequenz ist die Spektraldichte über alle Frequenzen konstant, was eine gleiche Beitrag zur Varianz von jeder zeitlichen Frequenz anzeigt; bei einer schmalbandigen Schwingung ist die Dichte nahe der Trägerfrequenz konzentriert.

Fehlanwendung

Ein einzelnes endliches, nichtstationäres Signalperiodogramm als wahre Spektraldichte zu behandeln, ohne Verzerrung, Leakage oder Nichtstationarität zu berücksichtigen, und dadurch fälschliche persistente Spektralspitzen zu folgern.

Konsequenz

Eine wohldefinierte Spektraldichte erlaubt die Auslegung und Analyse frequenzselektiver Operationen (z. B. Verstärkung oder Abschwächung bestimmter Bänder) und liefert sparsame Beschreibungen stochastischer Dynamiken durch Lokalisierung dominanter oszillatorischer Komponenten und Bandbreiten.

Umkehrung

Eine rein zeitbereichsorientierte Beschreibung wie die Folge roher Kovarianzen ohne Projektion auf Frequenzkomponenten; diese betont zeitliche Verzögerungsbeziehungen statt die Frequenzverteilung der Varianz.

Abgrenzung

Gilt im Sinne von Prozessen zweiten Grades, die stationär sind, oder für Signale endlicher Varianz, deren Kovarianzstruktur eine Frequenzdarstellung zulässt; schließt Signale ohne existierende Momente, stark nichtstationäre Aufzeichnungen oder deterministische Endlängensequenzen ohne geeignete Grenzwertbetrachtung aus.

Semantische Spannung

Wird häufig mit kurzzeitigen oder endlichen Stichproben-Spektalschätzern (Periodogramme, fensterbehaftete Spektren) verwechselt; die Spannung besteht zwischen der idealisierten ensemblespezifischen Spektraldichte und konkreten, verrauschten Schätzungen aus endlichen Daten.

Synthese

Die Spektraldichte ist die frequenzweise Verteilung der Varianz zweiten Grades eines stationären Signals, die beschreibt, wie verschiedene zeitliche Frequenzen zur Gesamtvarianz beitragen und frequenzgerichtete Analyse und Auslegung ermöglicht.