Une fonction qui attribue un poids non négatif à chaque valeur de fréquence caractérisant comment la variance ou la puissance d'un signal ou processus stationnaire se répartit sur les fréquences temporelles, servant de description dans le domaine fréquentiel de la structure du second ordre.

Principe

Les dépendances statistiques du second ordre d'une série temporelle — ses covariances à différents décalages — admettent une représentation selon laquelle les contributions sont réparties par fréquence ; la densité spectrale résume ces contributions de sorte que les propriétés de filtrage et de résonance s'expriment comme des pondérations sélectives en fréquence.

Démonstration

Pour une suite blanche idéalisée non corrélée, la densité spectrale est constante sur toutes les fréquences, indiquant une contribution égale à la variance de chaque fréquence temporelle ; pour une oscillation à bande étroite, la densité est concentrée autour de sa fréquence porteuse.

Mauvaise application

Considérer le périodogramme estimé d'un seul enregistrement fini non stationnaire comme la vraie densité spectrale sans tenir compte du biais, des fuites ou de la non-stationnarité et en déduire ainsi des pics spectraux persistants erronés.

Conséquence

Une densité spectrale bien définie permet la conception et l'analyse d'opérations sélectives en fréquence (par ex. amplifier ou atténuer des bandes) et fournit des caractérisations parcimonieuses des dynamiques stochastiques en localisant les composantes oscillatoires dominantes et leurs largeurs de bande.

Inversion

Une description purement temporelle telle que la suite des covariances brutes sans projection sur des composantes fréquentielles ; celle-ci met l'accent sur les relations de décalage temporel plutôt que sur la répartition de la variance par fréquence.

Limite

S'applique au sens des processus stationnaires du second ordre ou des signaux de variance finie dont la structure de covariance admet une représentation en fréquences ; exclut les signaux dont les moments n'existent pas, les enregistrements fortement non stationnaires ou les séquences déterministes de longueur finie sans interprétation limite appropriée.

Tension sémantique

Souvent confondue avec des estimations spectrales sur court intervalle ou sur échantillon fini (périodogrammes, spectres fenêtrés) ; la tension est entre la densité spectrale idéalisée comme objet d'ensemble et les estimations concrètes et bruitées issues de données finies.

Synthèse

La densité spectrale est la répartition en fréquence de la variabilité du second ordre d'un signal stationnaire, codant comment les fréquences temporelles contribuent à la variance globale et informant l'analyse et la conception ciblées en fréquence.