Eine Teilmenge eines Maßraums, der ein Maß von null zugeordnet wird; Elemente dieser Menge sind bezüglich dieser Maßstruktur für Integration und 'fast überall'-Aussagen vernachlässigbar.

Prinzip

Mengen vom Maß null können bei der Auswertung von Integralen oder Eigenschaften, die fast überall gelten, herausgenommen oder ignoriert werden, da sie die maßtheoretischen Werte nicht verändern.

Demonstration

Die klassische Cantor-Menge ist überabzählbar, hat aber bezüglich des Lebesgue-Maßes in [0,1] Maß null; daher bleibt jedes Lebesgue-Integral über [0,1] unverändert, wenn die Integranden auf der Cantor-Menge geändert werden.

Fehlanwendung

Eine Maß-null-Menge als topologisch leer zu behandeln oder als irrelevant für Stetigkeit: Eine Funktion kann auf einer Maß-null-Menge unstetig sein, was punktuelle Stetigkeit beeinträchtigt.

Konsequenz

Aussagen, die 'fast überall' gelten, und Integrale hängen nur von Äquivalenzklassen modulo Maß-null-Mengen ab; die Änderung einer Funktion auf einer Maß-null-Menge ändert nicht ihre L^p-Klasse.

Umkehrung

Eine Menge von vollem Maß (Komplement einer Maß-null-Menge) enthält die Punkte, die das fast-überall-Verhalten und Integrale bestimmen.

Abgrenzung

Hängt vom gewählten Maß ab (Lebesgue, Zählmaß, Wahrscheinlichkeit etc.); eine Menge, die bezüglich eines Maßes Maß null hat, kann bezüglich eines anderen Maßes positives Maß besitzen; sagt nichts über die topologische Größe aus.

Semantische Spannung

Kann mit 'nowhere dense' oder abzählbaren Mengen verwechselt werden: Maß-null bezieht sich auf das Maß, nicht auf topologische Dichte oder Mächtigkeit.

Synthese

Eine Maß-null-Menge ist eine Teilmenge, die vom gewählten Maß die Größe null erhält; solche Mengen sind für Integration und 'fast überall'-Eigenschaften vernachlässigbar, können aber topologisch oder kombinatorisch groß sein.