Sous-ensemble d'un espace mesuré auquel la mesure attribue la valeur zéro ; ses éléments sont négligeables pour l'intégration et les assertions 'presque partout' par rapport à cette mesure.

Principe

On peut retirer ou ignorer les ensembles de mesure nulle lors du calcul d'intégrales ou de l'énoncé de propriétés valables presque partout, car ils n'altèrent pas les valeurs mesurées.

Démonstration

L'ensemble de Cantor (construction des tiers centraux) est non dénombrable mais de mesure de Lebesgue nulle dans [0,1], donc toute intégrale de Lebesgue sur [0,1] reste inchangée si l'on modifie l'intégrande sur l'ensemble de Cantor.

Mauvaise application

Considérer un ensemble de mesure nulle comme topologiquement vide ou sans effet sur la continuité : une fonction peut être discontinue sur un ensemble de mesure nulle et cela affecte la continuité ponctuelle.

Conséquence

Les propriétés énoncées 'presque partout' et les intégrales dépendent uniquement des classes d'équivalence modulo les ensembles de mesure nulle ; modifier une fonction sur un tel ensemble ne change pas sa classe L^p.

Inversion

Un ensemble de pleine mesure (complément d'un ensemble de mesure nulle) contient les points qui déterminent le comportement presque partout et les intégrales.

Limite

Dépend de la mesure choisie (Lebesgue, dénombrement, probabilité, etc.) ; un ensemble de mesure nulle pour une mesure peut avoir une mesure positive pour une autre ; n'évalue pas la taille topologique (par ex. nulle densité vs mesure nulle).

Tension sémantique

Peut être confondu avec les ensembles de nulle densité ou les ensembles dénombrables : 'mesure nulle' concerne la mesure, pas la densité topologique ni la cardinalité.

Synthèse

Un ensemble de mesure nulle est un sous-ensemble auquel la mesure choisie attribue zéro ; il est négligeable pour l'intégration et les propriétés 'presque partout' tout en pouvant rester important sur le plan topologique ou combinatoire.