Subconjunto de un espacio medible al que la medida asigna el valor cero; sus puntos son despreciables para integrales y afirmaciones que valen casi en todas partes respecto a esa medida.

Principio

Se pueden eliminar u obviar conjuntos de medida cero al evaluar integrales o propiedades que se sostienen casi en todas partes, porque no alteran los valores medida-teóricos.

Demostración

El conjunto de Cantor (tercios medios) es no numerable pero tiene medida de Lebesgue cero en [0,1], por lo que cualquier integral de Lebesgue sobre [0,1] permanece sin cambio si se modifica la función integranda en el conjunto de Cantor.

Aplicación incorrecta

Tratar un conjunto de medida cero como topológicamente vacío o irrelevante para la continuidad: una función puede ser discontinua en un conjunto de medida cero y esto afecta la continuidad puntual.

Consecuencia

Las propiedades planteadas 'casi en todas partes' y las integrales dependen solo de clases de equivalencia módulo conjuntos de medida cero; cambiar una función en tal conjunto no altera su clase L^p.

Inversión

Un conjunto de medida completa (complemento de un conjunto de medida cero) contiene los puntos que determinan el comportamiento casi en todas partes y las integrales.

Límite

Depende de la medida elegida (Lebesgue, de conteo, probabilística, etc.); un conjunto de medida cero para una medida puede tener medida positiva para otra; no captura la 'talla' topológica.

Tensión semántica

Se confunde con conjuntos de vaciado interior o conjuntos numerables: 'medida cero' se refiere a la medida, no a la densidad topológica ni a la cardinalidad.

Síntesis

Un conjunto de medida cero es un subconjunto al que la medida escogida asigna cero; es despreciable para la integración y propiedades 'casi en todas partes', aunque puede seguir siendo significativo topológica o combinatoriamente.