Eine Zerlegung einer endlichdimensionalen linearen Abbildung (oder Matrix) A als A = U Σ V^*, wobei U und V unitäre (bzw. orthogonale) Matrizen sind und Σ eine Diagonalmatrix mit nichtnegativen reellen Einträgen (Singulärwerte) ist.

Prinzip

Sie diagonalisiert die positiv semidefiniten Operatoren A^*A und AA^*, liefert orthonormale Basen von Definitions‑ und Zielraum, die A im kleinsten‑Quadrate‑Sinne optimal diagonalisiert, und existiert stets für beliebige rechteckige Matrizen.

Demonstration

Für eine 2×2‑Matrix A berechnet man die Eigenvektoren von A^T A zur Bestimmung von V, setzt die Singulärwerte als Quadratwurzeln der Eigenwerte und erhält U durch U = A V Σ^{-1} für nichtverschwindende Singulärwerte; der größte Singulärwert ist die Operatornorm von A.

Fehlanwendung

Singulärvektoren als Eigenvektoren von A selbst zu interpretieren (statt als Eigenvektoren von A^*A oder AA^*) oder Σ beliebig zu ordnen, führt zu Fehlinterpretationen von Drehungen gegenüber Skalierungen und zu falschen Niedrigrangapproximationen.

Konsequenz

SVD liefert Rang, Spektralnormen, stabile numerische Pseudoinverse und beste Niedrigrangapproximationen (Eckart–Young‑Eigenschaft), eingesetzt in Datenkompression, Rauschunterdrückung und Extraktion von Hauptunterräumen.

Umkehrung

Eine Eigenwertzerlegung gilt für diagonalisierbare quadratische Matrizen bezüglich einer einzigen Basis; SVD ist eine Zerlegung mit zwei Basen, die auch für rechteckige oder nichtdiagonalisierbare Matrizen existiert.

Abgrenzung

Gilt für lineare Abbildungen zwischen endlichdimensionalen Innenprodukträumen (oder kompakte Operatoren in separablen Hilberträumen); in unendlichen Dimensionen ist Kompaktheit erforderlich und die Singulärwerte häufen sich gegen null.

Semantische Spannung

Im Gegensatz zur Eigenwertzerlegung: Eigenpaare beschreiben die Wirkung in einem Raum und können komplex sein, während SVD ortho‑normale Ein-/Ausgangsbasen und nichtnegative reelle Singulärwerte für jede reale rechteckige Matrix liefert.

Synthese

SVD stellt jede endliche lineare Abbildung als Verkettung einer orthogonalen/unitären Rotation, einer achsen‑gerichteten nichtnegativen Skalierung und einer weiteren Rotation dar und liefert robuste spektrale Informationen sowie optimale Approximationen.