Factorisation d'une application linéaire (ou matrice) A sous la forme A = U Σ V^*, où U et V sont des matrices unitaires (ou orthogonales) et Σ est diagonale avec des entrées réelles non négatives appelées valeurs singulières.

Principe

Elle diagonalise les opérateurs semi‑définis positifs A^*A et AA^*, fournissant des bases orthonormées du domaine et du codomaine qui diagonalisent A au sens des moindres carrés et existe toujours pour une matrice rectangulaire.

Démonstration

Pour une matrice réelle 2×2 A on calcule les vecteurs propres de A^T A pour obtenir V, les valeurs singulières sont les racines carrées des valeurs propres, et U se calcule par U = A V Σ^{-1} pour les valeurs singulières non nulles ; la plus grande valeur singulière est la norme opérateur de A.

Mauvaise application

Interpréter les vecteurs singuliers comme des vecteurs propres de A lui‑même (plutôt que de A^*A ou AA^*) ou ordonner arbitrairement Σ peut induire en erreur sur les rotations versus dilatations et produire des approximations de rang réduit incorrectes.

Conséquence

La SVD fournit le rang de la matrice, les normes spectrales, des pseudoinverses numériques stables et les meilleures approximations de rang réduit (propriété d'Eckart–Young) utilisées en compression, débruitage et extraction de sous‑espaces principaux.

Inversion

Une décomposition spectrale s'applique à une matrice carrée diagonalizable par rapport à une seule base ; la SVD est une factorisation à deux bases applicable même quand la décomposition spectrale échoue ou que la matrice est rectangulaire.

Limite

S'applique aux applications linéaires entre espaces euclidiens de dimension finie munis d'un produit scalaire (ou aux opérateurs compacts sur espaces de Hilbert séparables) ; en dimension infinie l'existence exige la compacité et les valeurs singulières tendent vers zéro.

Tension sémantique

Souvent comparée à la décomposition en valeurs propres : les paires propres décrivent l'action dans un seul espace et peuvent être complexes, tandis que la SVD fournit des bases orthonormées d'entrée/sortie et des valeurs singulières réelles non négatives pour toute matrice rectangulaire réelle.

Synthèse

La SVD exprime toute application linéaire finie comme une rotation orthogonale/unitaire, un étirement diagonal non négatif selon des axes, puis une autre rotation, fournissant des informations spectrales robustes et des approximations optimales.