Una factorización de una transformación lineal finita (o matriz) A como A = U Σ V^*, donde U y V son matrices unitarias (u ortogonales) y Σ es una diagonal con entradas no negativas llamadas valores singulares.

Principio

Diagonaliza los operadores semidefinidos positivos A^*A y AA^*, produciendo bases ortonormales del dominio y codominio que diagonalizan A en el sentido de mínimos cuadrados y existe siempre para cualquier matriz rectangular.

Demostración

Para una matriz real 2×2 A se calculan los vectores propios de A^T A para obtener V, los valores singulares son raíces cuadradas de los valores propios, y U se obtiene como U = A V Σ^{-1} para valores singulares no nulos; el mayor valor singular es la norma operador de A.

Aplicación incorrecta

Interpretar vectores singulares como vectores propios de A mismo (en lugar de A^*A o AA^*) o ordenar Σ arbitrariamente puede inducir a error sobre rotaciones frente a escalados y producir aproximaciones de rango bajo incorrectas.

Consecuencia

La SVD proporciona rango, normas espectrales, pseudoinversas numéricas estables y las mejores aproximaciones de rango reducido (propiedad de Eckart–Young) usadas en compresión, eliminación de ruido y extracción de subespacios principales.

Inversión

Una descomposición en valores propios se aplica a matrices cuadradas diagonalizables respecto a una única base; la SVD es una factorización con dos bases aplicable aun cuando la diagonalización falle o la matriz sea rectangular.

Límite

Se aplica a aplicaciones lineales entre espacios con producto interior de dimensión finita (o a operadores compactos en espacios de Hilbert separables); en dimensiones infinitas la existencia requiere compacidad y los valores singulares tienden a cero.

Tensión semántica

Se contrasta con la descomposición en valores propios: los pares propios describen la acción en un solo espacio y pueden ser complejos, mientras que la SVD da bases ortonormales de entrada/salida y valores singulares reales no negativos para cualquier matriz rectangular real.

Síntesis

La SVD expresa cualquier aplicación lineal finita como la composición de una rotación ortogonal/unitaria, un escalado no negativo alineado con ejes por los valores singulares y otra rotación, proporcionando información espectral robusta y aproximaciones óptimas.