Eine Differentialgleichung, die als notwendige Bedingung dafür entsteht, dass ein Funktional, definiert als Integral über ein Gebiet, unter kompakt gestützten glatten Variationen des abhängigen Feldes stationär ist.

Prinzip

Die Stationarität eines Integralfunktionals (der Wirkung) unter infinitesimalen Variationen liefert punktweise differentielle Bedingungen an das Feld und seine Ableitungen.

Demonstration

Für S[q] = ∫ L(x,q(x),∂q(x)) dx berechnet man die erste Variation δS und setzt sie gleich null; die resultierende Relation ∂L/∂q − ∂_i(∂L/∂(∂_i q)) = 0 ist die Euler–Lagrange-Gleichung.

Fehlanwendung

Anwendung der Euler–Lagrange-Gleichung auf ein Funktional mit nicht differenzierbarem Integranden, auf Variationen, die vorgeschriebene Nebenbedingungen verletzen, oder auf diskrete Systeme ohne Anpassung des Variationsprinzips.

Konsequenz

Ist die Gleichung anwendbar, so verwandelt sie ein Variationsproblem in eine (typischerweise) Differentialgleichung, deren Lösungen stationäre Punkte des Funktionals liefern und damit Kandidaten für Bewegungsgleichungen oder optimale Profile sind.

Umkehrung

Durch Legendre-Transformation der Euler–Lagrange-Gleichung erhält man die Hamiltonschen Gleichungen, die die Dynamik in Phasenraumvariablen statt in konfigurationsraum-basierten Variationsbedingungen ausdrücken.

Abgrenzung

Gilt für Funktionale, die glatt von Feld und seinen ersten Ableitungen abhängen, und für Variationen, die Randbedingungen respektieren; schließt nichtlokale Funktionale ohne differenzierbaren Integranden sowie Probleme, die distributionelle Methoden erfordern, aus, es sei denn, sie werden verallgemeinert.

Semantische Spannung

Wird oft mit der hinreichenden Bedingung für ein Extremum verwechselt; die Euler–Lagrange-Bedingung ist notwendig für Stationarität, garantiert aber kein Minimum oder Maximum ohne zusätzliche Analyse der zweiten Variation oder Konvexität.

Synthese

Die Euler–Lagrange-Gleichung ist die lokale differentielle Bedingung, die die globale variationsprinzipielle Forderung der Stationarität für integrale Funktionale kodiert und damit den Kalkül der Variationen mit Differentialgleichungen verbindet.