Ecuación diferencial obtenida como condición necesaria para que un funcional definido por una integral sobre un dominio sea estacionario ante variaciones suaves de soporte compacto del campo dependiente.

Principio

La estacionariedad de un funcional integral (la acción) bajo variaciones infinitesimales da lugar a condiciones diferenciales puntuales sobre el campo y sus derivadas.

Demostración

Para S[q] = ∫ L(x,q(x),∂q(x)) dx, calcular la primera variación δS y ponerla nula; la relación resultante ∂L/∂q − ∂_i(∂L/∂(∂_i q)) = 0 es la ecuación de Euler–Lagrange.

Aplicación incorrecta

Aplicar la ecuación de Euler–Lagrange a un funcional cuyo integrando no es diferenciable, a variaciones que violan restricciones prescritas, o a sistemas discretos sin adaptar el principio variacional.

Consecuencia

Cuando procede, reduce un problema variacional a una ecuación (generalmente diferencial) cuyas soluciones realizan puntos estacionarios del funcional y sirven como candidatos para ecuaciones de movimiento o perfiles óptimos.

Inversión

Transformar la ecuación de Euler–Lagrange por la transformación de Legendre produce las ecuaciones de Hamilton, que reexpresan la dinámica en variables del espacio de fases en lugar de condiciones variacionales en el espacio de configuraciones.

Límite

Válida para funcionales que dependen de manera suave del campo y de sus primeras derivadas y para variaciones que respeten las condiciones en la frontera; excluye funcionales no locales sin integrando diferenciable y problemas que requieran cálculo de distribuciones salvo generalización.

Tensión semántica

A menudo se confunde con la suficiencia para un extremo; la condición de Euler–Lagrange es necesaria para la estacionariedad pero no garantiza mínimo o máximo sin análisis adicional de la segunda variación o convexidad.

Síntesis

La ecuación de Euler–Lagrange es la condición diferencial local que codifica el requisito variacional global de estacionariedad para funcionales integrales, conectando el cálculo de variaciones con ecuaciones diferenciales.