Équation différentielle obtenue comme condition nécessaire pour qu'un fonctionnel défini par une intégrale sur un domaine soit stationnaire sous des variations régulières à support compact du champ dépendant.

Principe

La stationnarité d'un fonctionnel intégral (action) sous de petites variations entraîne des conditions différentielles locales sur le champ et ses dérivées.

Démonstration

Pour S[q] = ∫ L(x,q(x),∂q(x)) dx, calculer la première variation δS et la poser nulle; la relation résultante ∂L/∂q − ∂_i(∂L/∂(∂_i q)) = 0 est l'équation d'Euler–Lagrange.

Mauvaise application

Appliquer l'équation d'Euler–Lagrange à un fonctionnel dont l'intégrande n'est pas différentiable, à des variations violant des contraintes prescrites, ou à des systèmes discrets sans adapter le principe variationnel.

Conséquence

Lorsqu'elle est applicable, elle réduit un problème variationnel à une équation (généralement différentielle) dont les solutions réalisent des points stationnaires du fonctionnel et fournissent des candidats pour les équations de mouvement ou les profils optimaux.

Inversion

La transformation de Legendre de l'équation d'Euler–Lagrange conduit aux équations de Hamilton, qui réexpriment la dynamique en variables d'espace des phases plutôt qu'en conditions variationnelles en espace de configuration.

Limite

Valable pour des fonctionnels dépendant de façon régulière du champ et de ses premières dérivées et pour des variations respectant les conditions aux limites; exclut les fonctionnels non locaux sans intégrande différentiable et les problèmes nécessitant le calcul distributionnel sauf généralisation.

Tension sémantique

Souvent confondue avec la suffisance pour un extremum; la condition d'Euler–Lagrange est nécessaire pour la stationnarité mais n'assure pas un minimum ou un maximum sans analyse supplémentaire de la seconde variation ou convexité.

Synthèse

L'équation d'Euler–Lagrange est la condition différentielle locale qui encode l'exigence variationnelle globale de stationnarité pour les fonctionnels intégraux, reliant le calcul des variations aux équations différentielles.