Eine beschränkte lineare Abbildung zwischen Banachräumen, deren Kern und Kokern endlichdimensional sind und deren Bild abgeschlossen ist; der Index ist dim(Kern) minus dim(Kokern).

Prinzip

Die Fredholm-Eigenschaft ist unter kompakten Störungen stabil, und der Index ist unter solchen Störungen ein ganzzahliges Invarinat.

Demonstration

Ein Integraloperator auf L^2 mit glattem Kern ist ein Fredholm-Operator: Kern und Kokern sind endlichdimensional, der Index lässt sich aus Randdaten berechnen.

Fehlanwendung

Ein beliebiger beschränkter Operator mit abgeschlossenem Bild als Fredholm-Operator zu bezeichnen, ohne die Endlichkeit von Kern oder Kokern zu prüfen.

Konsequenz

Gleichungen T x = y sind bis auf eine endlichdimensionale Einschränkung lösbar; die Lösbarkeit reduziert sich auf endlich viele Kompatibilitätsbedingungen und die Lösung ist eindeutig modulo Kern(T).

Umkehrung

Ein nicht-Fredholm-Operator hat typischerweise einen unendlichdimensionalen Kern oder Kokern oder ein nicht-abgeschlossenes Bild; ein endlicher Index fehlt.

Abgrenzung

Bezieht sich auf beschränkte lineare Operatoren auf Banach- (oder Hilbert-) Räumen; unbeschränkte Operatoren benötigen zusätzliche Geschlossenheits- und Definitionsbereichsbedingungen.

Semantische Spannung

Im Gegensatz zu kompakten Operatoren (diskretes Spektrum, Häufung in 0) und zu invertierbaren Operatoren; Fredholm-Sein ist schwächer als Invertierbarkeit, aber stärker als bloße Beschränktheit.

Synthese

Ein Fredholm-Operator ist ein beschränkter linearer Operator zwischen Banachräumen mit endlichdimensionalen Defekträumen und abgeschlossenem Bild, dessen ganzzahliger Index unter kompakten Störungen unverändert bleibt.