Application linéaire bornée entre espaces de Banach dont le noyau et le conoyau sont de dimension finie et dont l'image est fermée ; l'indice est dim(noyau) moins dim(conoyau).

Principe

La propriété de Fredholm est stable par perturbations compactes et l'indice est un invariant entier sous ces perturbations.

Démonstration

Un opérateur intégral sur L^2 à noyau lisse est un opérateur de Fredholm : son noyau et son conoyau sont de dimension finie et l'indice se calcule à partir des conditions aux limites.

Mauvaise application

Qualifier d'opérateur de Fredholm tout opérateur borné à image fermée sans vérifier la finitude du noyau ou du conoyau.

Conséquence

Les équations T x = y se résolvent à une obstruction de dimension finie près ; la résolubilité se ramène à un nombre fini de conditions de compatibilité et la solution est unique modulo ker(T).

Inversion

Un opérateur non-Fredholm a généralement un noyau ou un conoyau de dimension infinie ou une image non fermée ; il n'admet pas d'indice fini bien défini.

Limite

S'applique aux opérateurs linéaires bornés sur espaces de Banach (ou de Hilbert) ; les opérateurs non bornés exigent des conditions supplémentaires de fermeture et de domaine.

Tension sémantique

À mettre en regard des opérateurs compacts (spectre discret accumulant en zéro) et des opérateurs inversibles ; la propriété de Fredholm est plus faible que l'inversibilité mais plus forte que la simple bornitude.

Synthèse

Un opérateur de Fredholm est un opérateur linéaire borné entre espaces de Banach avec des espaces de défaut de dimension finie et une image fermée, possédant un indice entier stable par perturbations compactes.