Aplicación lineal acotada entre espacios de Banach cuyo núcleo y cokernel son de dimensión finita y cuyo rango es cerrado; su índice es dim(núcleo) menos dim(cokernel).

Principio

La propiedad de Fredholm es estable frente a perturbaciones compactas, y el índice es un invariante entero bajo tales perturbaciones.

Demostración

Un operador integral en L^2 con núcleo suave es un operador de Fredholm: su núcleo y cokernel son finito-dimensionales y el índice puede calcularse con datos en la frontera.

Aplicación incorrecta

Llamar operador de Fredholm a cualquier operador acotado con rango cerrado sin comprobar la finitud del núcleo o del cokernel.

Consecuencia

Las ecuaciones T x = y son solucionables salvo por una obstrucción de dimensión finita; la solvencia se reduce a condiciones de compatibilidad finitas y la solución es única módulo ker(T).

Inversión

Un operador no-Fredholm suele tener núcleo o cokernel de dimensión infinita o rango no cerrado; no admite un índice finito bien definido.

Límite

Se aplica a operadores lineales acotados en espacios de Banach (o de Hilbert); los operadores no acotados requieren condiciones adicionales de cerradura y dominio.

Tensión semántica

Se contrasta frecuentemente con operadores compactos (espectro discreto acumulándose en cero) y con operadores invertibles; ser Fredholm es más débil que ser invertible pero más fuerte que la mera acotación.

Síntesis

Un operador de Fredholm es un operador lineal acotado entre espacios de Banach con espacios de defecto finito y rango cerrado, que posee un índice entero estable frente a perturbaciones compactas.