Für eine glatte Abbildung f:M→N zwischen Mannigfaltigkeiten ist ein Punkt y in N ein regulärer Wert, wenn für jedes x in f^{-1}(y) die Differentiale Df_x surjektiv ist; äquivalent: alle Urbildpunkte sind reguläre Punkte.

Prinzip

Nach dem Satz vom regulären Wert (Urbildsatz/Submersionssatz) ist das Urbild f^{-1}(y) eines regulären Werts eine glatte Untermannigfaltigkeit von M mit Kodimension dim N; reguläre Werte sind nach Sard allgemein häufig (generisch).

Demonstration

Für f: R^2 → R mit f(x,y)=x^2+y^2-1 ist der Wert 0 regulär, da der Gradient ∇f auf dem Kreis f^{-1}(0) nicht verschwindet; der Kreis ist somit eine eindimensionale Untermannigfaltigkeit.

Fehlanwendung

Kritische Werte fälschlich als regulär zu behandeln und deshalb fälschlich von Mannigfaltigkeitsstruktur oder korrekten Dimensionen der Niveausätze auszugehen, ohne Surjektivität der Differentiellen zu prüfen.

Konsequenz

Ist y regulär, so ist f^{-1}(y) eine eingebettete glatte Untermannigfaltigkeit mit erwarteter Dimension und lokalen Karten; kleine Störungen von f erhalten die Regularität benachbarter Werte.

Umkehrung

Ein kritischer Wert besitzt mindestens einen Urbildpunkt, an dem die Differentiale nicht surjektiv ist; sein Urbild kann Singularitäten aufweisen oder seine Topologie unter Störung ändern.

Abgrenzung

Erfordert, dass f mindestens C^1-differenzierbar zwischen glatten Mannigfaltigkeiten ist; der Begriff gilt nicht für nicht-differenzierbare Abbildungen oder rein topologische Abbildungen.

Semantische Spannung

Eng verwandt mit dem Begriff des 'regulären Punktes' und mit Transversalität; die semantische Spannung entsteht beim Unterscheiden eines regulären Werts (Eigenschaft des Zielpunkts) von einem regulären Punkt (Eigenschaft eines Urbildpunkts) und von transversalen Schnitten.

Synthese

Ein regulärer Wert ist ein Zielwert, dessen gesamtes Urbild aus Punkten besteht, an denen die Differentiale surjektiv sind, was garantiert, dass das Urbild eine glatte Untermannigfaltigkeit der erwarteten Kodimension ist.