Pour une application lisse f:M→N entre variétés, un point y de N est une valeur régulière si, pour tout x dans f^{-1}(y), la différentielle Df_x est surjective ; autrement dit tous les points de l'image réciproque sont des points réguliers.

Principe

D'après le théorème de la valeur régulière (théorème de l'image réciproque/sousmersion), l'ensemble f^{-1}(y) d'une valeur régulière est une sous-variété lisse de M de codimension dim N ; les valeurs régulières sont génériques par le théorème de Sard.

Démonstration

Pour f: R^2 → R donnée par f(x,y)=x^2+y^2-1, la valeur 0 est régulière car le gradient ∇f est non nul sur le cercle f^{-1}(0), donc le cercle est une sous-variété de dimension 1.

Mauvaise application

Prendre une valeur critique pour une valeur régulière et affirmer à tort une structure de variété ou des dimensions correctes des ensembles de niveaux sans vérifier la surjectivité de la différentielle.

Conséquence

Quand y est régulier, f^{-1}(y) est une sous-variété lisse plongée de dimension et cartes locales prévisibles ; de petites perturbations de f conservent la régularité des valeurs proches.

Inversion

Une valeur critique admet au moins un point de la préimage où la différentielle n'est pas surjective ; sa préimage peut présenter des singularités ou voir sa topologie changer sous perturbation.

Limite

Nécessite que f soit différentiable de classe au moins C^1 entre variétés différentiables ; la notion ne s'applique pas aux applications non différentiables ou aux applications purement topologiques.

Tension sémantique

Étroitement liée au concept de 'point régulier' et à la transversalité ; la tension apparaît quand il faut distinguer une valeur régulière (propriété du point cible) d'un point régulier (propriété d'un point de la préimage) et d'intersections transverses.

Synthèse

Une valeur régulière est une valeur de l'espace cible dont toute préimage est constituée de points où la différentielle est surjective, garantissant que la préimage est une sous-variété lisse de la codimension attendue.