Para una aplicación suave f:M→N entre variedades, un punto y en N es un valor regular si, para todo x en f^{-1}(y), la diferencial Df_x es sobreyectiva; equivalentemente, todos los puntos de la preimagen son puntos regulares.

Principio

Por el teorema del valor regular (teorema de la preimagen/submersión), la preimagen f^{-1}(y) de un valor regular es una subvariedad suave de M de codimensión igual a dim N; los valores regulares son genéricos según el teorema de Sard.

Demostración

Para f: R^2 → R dada por f(x,y)=x^2+y^2-1, el valor 0 es regular porque el gradiente ∇f no es nulo en el círculo f^{-1}(0), por lo que el círculo es una subvariedad de dimensión 1.

Aplicación incorrecta

Tratar valores críticos como regulares y por tanto afirmar estructura de variedad o recuentos dimensionales erróneos para conjuntos de nivel sin comprobar la sobreyectividad de la diferencial.

Consecuencia

Cuando y es regular, f^{-1}(y) es una subvariedad embebida suave con dimensión predecible y cartas locales; pequeñas perturbaciones de f preservan la regularidad de valores cercanos.

Inversión

Un valor crítico tiene al menos una preimagen donde la diferencial no es sobreyectiva; su preimagen puede tener singularidades o cambiar de topología bajo perturbaciones.

Límite

Requiere que f sea diferenciable de clase al menos C^1 entre variedades suaves; la noción no se aplica a aplicaciones no diferenciables o a mapas puramente topológicos.

Tensión semántica

Estrechamente relacionado con 'punto regular' y con transversalidad; la tensión semántica aparece al distinguir un valor regular (propiedad del punto en el codominio) de un punto regular (propiedad de un punto de la preimagen) y de intersecciones transversales.

Síntesis

Un valor regular es un valor del codominio cuya preimagen consiste únicamente en puntos donde la diferencial es sobreyectiva, lo que garantiza que la preimagen sea una subvariedad suave de la codimensión esperada.