Eine mathematische Formulierung ist wohlgestellt, wenn eine Lösung existiert, die Lösung eindeutig ist und die Lösung stetig von den Eingangsdaten abhängt.

Prinzip

Es werden Existenz, Eindeutigkeit und stetige Abhängigkeit der Lösungen von den Daten gefordert, so dass die Formulierung stabile und physikalisch oder numerisch sinnvolle Resultate liefert.

Demonstration

Beispiel: Ein lineares Gleichungssystem Ax = b mit invertierbarer Matrix A besitzt eine eindeutige Lösung x, die sich stetig mit Änderungen von b verändert.

Fehlanwendung

Zu glauben, eine numerische Diskretisierung erhalte automatisch die Wohlgestelltheit; Diskretisierung kann schlechte Konditionierung oder Nichtexistenz diskreter Lösungen einführen.

Konsequenz

Erfüllen die Kriterien, so führen kleine Störungen der Eingabedaten zu kleinen Änderungen der Lösung, was zuverlässige Berechnungen und Störungsanalysen ermöglicht.

Umkehrung

Ein schlecht gestelltes Problem fehlt es an Existenz, Eindeutigkeit oder stetiger Abhängigkeit; z. B. ist das Rückwärtsbestimmen früherer Zustände aus späteren diffusen Daten typischerweise nicht wohlgestellt.

Abgrenzung

Gilt für Abbildungen zwischen spezifizierten Daten‑ und Lösungsräumen mit Topologie; schließt informelle Formulierungen aus, die Datenräume, Normen oder Stetigkeitsstruktur weglassen.

Semantische Spannung

Wird oft mit numerischer Stabilität verwechselt: Wohlgestelltheit ist eine Eigenschaft der kontinuierlichen Formulierung, numerische Stabilität dagegen eine Eigenschaft des Algorithmus.

Synthese

Wohlgestelltheit ist die Dreifaltigkeit von Existenz, Eindeutigkeit und stetiger Abhängigkeit, die eine mathematische Formulierung robust für Analyse und Berechnung macht.