Une formulation mathématique est bien posée si une solution existe, que cette solution est unique et qu'elle dépend de façon continue des données d'entrée.

Principe

Exiger existence, unicité et dépendance continue des solutions aux données afin que la formulation produise des résultats stables, physiquement ou numériquement signifiants.

Démonstration

Exemple : un système linéaire Ax = b avec A inversible admet une solution unique x qui varie de façon continue lorsque b est perturbé.

Mauvaise application

Supposer qu'une discrétisation numérique préserve automatiquement la bonne poséité ; la discrétisation peut introduire un mauvais conditionnement ou l'absence de solutions discrètes.

Conséquence

Lorsque les critères sont satisfaits, de petites perturbations des données entraînent de petits changements de la solution, permettant un calcul et une analyse de perturbation fiables.

Inversion

Un problème mal posé manque d'existence, d'unicité ou de dépendance continue ; par exemple, tenter de reconstituer un état antérieur à partir de données diffusives ultérieures échoue souvent sur un ou plusieurs critères.

Limite

S'applique aux applications entre espaces de données et d'incertitudes munis d'une topologie ; exclut les formulations informelles omettant espaces de données, normes ou structure de continuité.

Tension sémantique

Souvent confondu avec la stabilité numérique : la bonne poséité est une propriété de la formulation continue, tandis que la stabilité numérique relève de l'algorithme choisi.

Synthèse

La bonne poséité est le triplet existence‑unicité‑dépendance continue qui rend une formulation mathématique robuste pour l'analyse et le calcul.