Ein Integral einer Funktion f bezüglich einer Funktion g, definiert als der Grenzwert der Summen Σ f(t_i)[g(x_{i+1}) - g(x_i)] bei Verfeinerung der Zerlegung; es verallgemeinert das gewöhnliche Integral, indem Integration gegenüber einer Integratorfunktion mit Sprüngen oder singulärem Verhalten erlaubt wird.

Prinzip

Die Integration paart Funktionswerte mit Inkrementen eines Integrators g; wenn g beschränkte Variation hat, erweitert das Stieltjes‑Integral die klassische Integration um stetige Dichten und diskrete Sprunganteile.

Demonstration

Ist g differenzierbar mit Ableitung g', so reduziert sich ∫ f dg auf das gewöhnliche Integral ∫ f(x) g'(x) dx; ist g eine kumulative Sprungfunktion, wird das Integral zur gewichteten Summe der Werte von f an den Sprungstellen.

Fehlanwendung

Ohne Prüfung der Voraussetzungen die Austauschbarkeit mit maßtheoretischen Integralen anzunehmen oder mit hochoszillierendem oder ohne beschränkte Variation verbleibendem g zu integrieren.

Konsequenz

Die Konstruktion verbindet Integratoren und Maße: Eine Funktion beschränkter Variation definiert ein Vorzeichenmaß, und das Stieltjes‑Integral stellt Integrale gegen dieses Maß wieder her, nützlich in der Wahrscheinlichkeit bei Verteilungsfunktionen.

Umkehrung

Das gewöhnliche Riemann‑Integral ist der Spezialfall g(x) = x; umgekehrt erlaubt das Stieltjes‑Integral allgemeinere Integratoren, einschließlich unstetiger kumulativer Funktionen.

Abgrenzung

Existenz für alle stetigen f ist gesichert, wenn g beschränkte Variation besitzt; für singulärere Integratoren müssen verallgemeinerte Integrationstheorien (Young, Henstock–Kurzweil oder maßtheoretische Rahmen) herangezogen werden.

Semantische Spannung

Im Vergleich zum Lebesgue‑Integral betont das Stieltjes‑Integral die Integration bezüglich einer Integratorfunktion statt einer festen Bezugsmaß, mit anderen Regularitäts‑ und Konvergenzanforderungen.

Synthese

Das Stieltjes‑Integral verallgemeinert klassische Integration, indem Funktionswerte gegen Inkremente eines Integrators aufsummiert werden und so stetige Dichten und diskrete Sprünge in einem Rahmen vereinigt werden.