Una integral de una función f con respecto a una función g, definida como el límite de sumas Σ f(t_i)[g(x_{i+1}) - g(x_i)] al refinar las particiones; generaliza la integral ordinaria permitiendo integrar respecto a un integrador que puede tener saltos o comportamiento singular.

Principio

La integración empareja valores de la función con incrementos del integrador g; cuando g tiene variación acotada, la integral de Stieltjes extiende la integración clásica para incluir contribuciones continuas y saltos discretos.

Demostración

Si g es diferenciable con derivada g', entonces ∫ f dg se reduce a la integral ordinaria ∫ f(x) g'(x) dx; si g es una función acumulativa con saltos, la integral se convierte en una suma ponderada de f en los puntos de salto.

Aplicación incorrecta

Asumir intercambiabilidad sin restricciones con integrales desde la teoría de la medida sin verificar condiciones, o integrar respecto a un g muy oscilatorio o sin variación acotada sin la teoría de convergencia apropiada.

Consecuencia

La construcción enlaza integradores y medidas: una función de variación acotada define una medida signada y la integral de Stieltjes recupera integrales respecto a esa medida, útil en probabilidad cuando g es una función de distribución.

Inversión

La integral de Riemann ordinaria es el caso especial g(x) = x; a la inversa, la integral de Stieltjes permite integradores más generales, incluyendo funciones acumulativas discontinuas.

Límite

La existencia para toda f continua está garantizada cuando g tiene variación acotada; para integradores más singulares es preciso recurrir a teorías de integración generalizadas (Young, Henstock–Kurzweil o marcos plenamente medibles).

Tensión semántica

Comparada con la integral de Lebesgue, la integral de Stieltjes enfatiza integrar respecto a una función integradora en lugar de una medida de referencia fija, lo que conlleva diferentes requisitos de regularidad y convergencia.

Síntesis

La integral de Stieltjes generaliza la integración clásica al sumar valores de la función contra los incrementos de una integradora, unificando el tratamiento de densidades continuas y saltos discretos.