Une intégrale d'une fonction f par rapport à une fonction g, définie comme la limite de sommes Σ f(t_i)[g(x_{i+1}) - g(x_i)] lorsque le maillage se raffine ; elle généralise l'intégrale usuelle en permettant d'intégrer vis‑à‑vis d'un intégrateur pouvant présenter des sauts ou des singularités.

Principe

L'intégration associe les valeurs de la fonction aux incréments de l'intégrateur g ; lorsque g est de variation bornée, l'intégrale de Stieltjes étend l'intégration classique pour englober contributions continues et sauts discrets.

Démonstration

Si g est différentiable de dérivée g', alors ∫ f dg se réduit à l'intégrale ordinaire ∫ f(x) g'(x) dx ; si g est une fonction cumulative à sauts, l'intégrale devient une somme pondérée des valeurs de f aux points de saut.

Mauvaise application

Supposer une interchangeabilité sans condition avec les intégrales issues de la théorie de la mesure, ou intégrer par rapport à un g très oscillant ou sans variation bornée sans théorie de convergence adaptée.

Conséquence

La construction relie intégrateurs et mesures : une fonction de variation bornée définit une mesure signée et l'intégrale de Stieltjes retrouve les intégrales par rapport à cette mesure, utile en probabilité lorsque g est une fonction de distribution.

Inversion

L'intégrale de Riemann ordinaire est le cas particulier g(x) = x ; inversement, l'intégrale de Stieltjes autorise des intégrateurs plus généraux, y compris des fonctions cumulatives discontinues.

Limite

L'existence pour toute f continue est garantie quand g est de variation bornée ; pour des intégrateurs plus singuliers il faut recourir à des théories d'intégration généralisées (Young, Henstock–Kurzweil ou cadres mesurables complets).

Tension sémantique

Par rapport à l'intégrale de Lebesgue, l'intégrale de Stieltjes met l'accent sur l'intégration vis‑à‑vis d'une fonction intégratrice plutôt que d'une mesure de référence fixe, imposant des conditions différentes de régularité et de convergence.

Synthèse

L'intégrale de Stieltjes généralise l'intégration classique en sommant les valeurs d'une fonction contre les incréments d'une intégratrice, unifiant traitements des densités continues et des sauts discrets.