Ein numerisches Verhältnis, das die marginalen Likelihoods zweier konkurrierender statistischer Modelle für dieselben Daten vergleicht; es quantifiziert die relative Evidenz der Daten zugunsten des einen Modells gegenüber dem anderen unter festgelegten Priors.

Prinzip

Berechne für jedes Modell die integrierte Likelihood (Marginalisierung der Parameter unter ihren Priors) und bilde deren Quotient, um zu messen, wie stark die Daten ein Modell gegenüber dem anderen stützen.

Demonstration

Bei Münzwürfen mit k Köpfen in n Versuchen vergleicht man M0: p = 1/2 (kein Parameter) mit M1: p ~ Beta(α,β). Der Bayes-Faktor ist P(D|M0) / ∫ P(D|p) π(p) dp und vergleicht die Punktwahrscheinlichkeit mit der marginalen Wahrscheinlichkeit unter der Beta‑Prior.

Fehlanwendung

Den Bayes-Faktor als Posterior‑Modellwahrscheinlichkeit ansehen, ohne ihn mit Prior‑Modelwahrscheinlichkeiten zu kombinieren, oder nicht‑normierbare (impropere) Priors verwenden, die marginale Likelihoods undefiniert machen.

Konsequenz

Korrekt angewendet liefert er eine interpretierbare Evidenzskala zur Modellwahl und kann Prior‑Mod‑Odds in Posterior‑Odds umwandeln; die Ergebnisse sind jedoch empfindlich gegenüber der Wahl der Priors.

Umkehrung

Die Umkehr des Verhältnisses bewertet die Evidenz zugunsten des alternativen Modells; für Posterior‑Odds muss der Bayes‑Faktor mit den Prior‑Odds multipliziert werden.

Abgrenzung

Gilt nur, wenn beide Modelle wohldefinierte marginale Likelihoods haben (proper Priors oder integrierbare Likelihoods); nicht anwendbar bei impropen Priors oder wenn Marginalisierung undefiniert ist; beurteilt nicht direkt die Vorhersagekalibrierung.

Semantische Spannung

Wird oft mit p‑Werten oder Likelihood‑Ratio‑Tests verwechselt: Bayes‑Faktoren vergleichen marginalisierte Evidenz unter Priors, während p‑Werte die Extremität unter einer Nullverteilung messen und LR‑Tests punktweise Likelihoods ohne Prior‑Integration vergleichen.

Synthese

Ein Bayes‑Faktor ist das prior‑gewichtete Likelihood‑Verhältnis zweier Modelle, das quantifiziert, wie Daten durch Marginalisierung über Parameter relative Glauben an Modelle aktualisieren.