Un rapport numérique comparant les vraisemblances marginales de deux modèles statistiques concurrents pour des mêmes données ; il quantifie l'évidence relative apportée par les données en faveur d'un modèle par rapport à un autre sous des priors spécifiés.

Principe

Calculer la vraisemblance intégrée de chaque modèle (marginaliser les paramètres selon leurs lois a priori) puis former leur ratio pour mesurer dans quelle mesure les données favorisent un modèle plutôt qu'un autre.

Démonstration

Pour des lancers de pièce avec k faces en n essais, comparer M0 : p = 1/2 (pas de paramètre) à M1 : p ~ Beta(α,β). Le facteur de Bayes est P(données|M0) / ∫ P(données|p) π(p) dp, évaluant la vraisemblance ponctuelle par rapport à la marginale sous la Beta.

Mauvaise application

Considérer le facteur de Bayes comme une probabilité a posteriori des modèles sans le combiner avec les probabilités a priori des modèles, ou utiliser des priors impropres (non normalisables) qui rendent les vraisemblances marginales indéfinies.

Conséquence

Appliqué correctement, il fournit une échelle d'évidence interprétable pour la sélection de modèles et permet de transformer des odds a priori en odds a posteriori ; cependant les résultats dépendent fortement du choix des priors.

Inversion

Interpréter le ratio inverse compare l'évidence en faveur du modèle alternatif ; exprimer les résultats en odds a posteriori nécessite de multiplier le facteur de Bayes par les odds a priori.

Limite

S'applique uniquement quand les deux modèles ont des vraisemblances marginales bien définies (priors propres ou vraisemblances intégrables) ; inadapté si les priors sont impropres ou si la marginalisation est indéfinie ; n'évalue pas directement la calibration prédictive.

Tension sémantique

Souvent confondu avec les p‑valeurs ou les tests du rapport de vraisemblance : les facteurs de Bayes comparent des évidences marginalisées sous des priors, tandis que les p‑valeurs mesurent l'extrême d'une statistique sous le nul et les tests du rapport de vraisemblance comparent des vraisemblances ponctuelles sans intégration des priors.

Synthèse

Le facteur de Bayes est le rapport des vraisemblances marginales pondérées par les priors de deux modèles, quantifiant comment les données mettent à jour la confiance relative dans ces modèles par marginalisation des paramètres.