Die Menge von Elementen einer Gruppe, die durch Konjugation eines festen Elements durch alle Gruppenelemente entstehen; formal ist für g in G die Konjugationsklasse {a g a^{-1} : a ∈ G}.

Prinzip

Konjugation gruppiert Elemente, die in Bezug auf die Gruppenstruktur dieselbe interne Stellung einnehmen; Mitglieder sind äquivalent unter inneren Automorphismen der Gruppe.

Demonstration

In der symmetrischen Gruppe S3 bilden die 3‑Zyklen eine Konjugationsklasse: { (1 2 3), (1 3 2) }, denn Konjugation durch eine beliebige Permutation wandelt einen 3‑Zyklus in den anderen um.

Fehlanwendung

Annehmen, jede Konjugationsklasse sei eine Untergruppe — im Allgemeinen ist eine Konjugationsklasse nicht unter der Gruppenoperation abgeschlossen und somit keine Untergruppe, außer in Spezialfällen (z. B. die Klasse des Neutrallements).

Konsequenz

Konjugationsklassen partitionieren die Gruppe und sind zentral in der Darstellungstheorie und in der Klassenformel; Elemente derselben Klasse haben dieselbe Ordnung und dieselbe Spur in jeder Darstellung.

Umkehrung

Eine normale Untergruppe ist eine Vereinigung von Konjugationsklassen; aus der Sicht der Normalität organisiert die Invarianz unter Konjugation Klassen zu Untergruppenkonstruktionen.

Abgrenzung

Definiert nur im Kontext einer Gruppe und für innere Konjugation durch Gruppenelemente; gilt nicht für beliebige Mengen mit einer externen Wirkung, sofern diese Wirkung nicht aus Konjugation entsteht.

Semantische Spannung

Oft im Gegensatz zu Nebenklassen (Cosets): Cosets sind Translata nach einer Untergruppe und partitionieren nicht notwendigerweise nach Äquivalenz unter inneren Automorphismen, während Konjugationsklassen genau nach Konjugationsäquivalenz partitionieren.

Synthese

Eine Konjugationsklasse ist die Äquivalenzklasse eines Elements unter inneren Automorphismen und partitioniert eine Gruppe in Mengen von Elementen, die bis auf Umbenennung durch Gruppensymmetrien gleich sind.