El conjunto de elementos de un grupo obtenidos conjugando un elemento fijo por cada elemento del grupo; formalmente, para g en G la clase de conjugación es {a g a^{-1} : a ∈ G}.

Principio

La conjugación agrupa elementos que ocupan la misma posición interna respecto a la estructura del grupo; los miembros son equivalentes bajo los automorfismos internos del grupo.

Demostración

En el grupo simétrico S3, los 3‑ciclos forman una clase de conjugación: { (1 2 3), (1 3 2) } porque la conjugación por cualquier permutación transforma un 3‑ciclo en el otro.

Aplicación incorrecta

Suponer que toda clase de conjugación es un subgrupo — en general una clase de conjugación no está cerrada bajo la operación de grupo y por tanto no es un subgrupo, salvo en casos especiales (p. ej., la clase de la identidad).

Consecuencia

Las clases de conjugación partenionan el grupo y son centrales en teoría de representaciones y en la ecuación de clases; los elementos en la misma clase tienen el mismo orden y la misma traza en cualquier representación.

Inversión

Un subgrupo normal es una unión de clases de conjugación; invertido el punto de vista, la invariancia por conjugación (normalidad) organiza las clases en estructura de subgrupo.

Límite

Definida solo en el contexto de un grupo y para la conjugación interior por elementos del grupo; no se aplica a conjuntos arbitrarios con una acción externa a menos que dicha acción provenga de la conjugación en un grupo.

Tensión semántica

A menudo se contrasta con los cosets: los cosets son traslados por un subgrupo y no necesariamente particionan según la equivalencia por automorfismos internos, mientras que las clases de conjugación particionan según la conjugación.

Síntesis

Una clase de conjugación es la clase de equivalencia de un elemento bajo automorfismos internos, particionando un grupo en conjuntos de elementos que son iguales salvo por relabelado por las simetrías del grupo.