L'ensemble des éléments d'un groupe obtenus en conjuguant un élément fixé par tous les éléments du groupe ; formellement, pour g dans G la classe de conjugaison est {a g a^{-1} : a ∈ G}.

Principe

La conjugaison regroupe les éléments qui occupent la même position interne par rapport à la structure du groupe ; les membres sont équivalents sous les automorphismes intérieurs du groupe.

Démonstration

Dans le groupe symétrique S3, les 3‑cycles forment une classe de conjugaison : { (1 2 3), (1 3 2) } car la conjugaison par une permutation transforme un 3‑cycle en l'autre.

Mauvaise application

Supposer que toute classe de conjugaison est un sous‑groupe — en général une classe de conjugaison n'est pas fermée par l'opération de groupe et n'est donc pas un sous‑groupe, sauf dans des cas particuliers (par exemple la classe de l'identité).

Conséquence

Les classes de conjugaison partitionnent le groupe et sont centrales en théorie des représentations et dans l'équation des classes ; les éléments d'une même classe ont le même ordre et la même trace dans toute représentation.

Inversion

Un sous‑groupe normal est une réunion de classes de conjugaison ; inversement, l'invariance par conjugaison (normalité) regroupe les classes en une structure de sous‑groupe.

Limite

Définie uniquement dans le cadre d'un groupe et pour la conjugaison intérieure par des éléments du groupe ; ne s'applique pas à des ensembles quelconques avec une action externe sauf si cette action provient de la conjugaison dans un groupe.

Tension sémantique

Souvent mise en contraste avec les cosets : les cosets sont des translatés par un sous‑groupe et ne partitionnent pas nécessairement suivant l'équivalence par automorphismes intérieurs, tandis que les classes de conjugaison partitionnent selon la conjugaison.

Synthèse

Une classe de conjugaison est la classe d'équivalence d'un élément sous les automorphismes intérieurs, partitionnant un groupe en ensembles d'éléments identiques à relabeler par les symétries du groupe.