Eine Hilfsvariable, die eingeführt wird, um ein Optimierungsproblem mit differenzierbaren Gleichungsnebenbedingungen in eine Stationaritätsbedingung für eine Lagrange‑Funktion umzuwandeln und so die gleichzeitige Lösung für Variablen und Nebenbedingungen zu ermöglichen.

Prinzip

Bildet man die Lagrange‑Funktion L(x,λ)=f(x)+λᵀ g(x) für ein Ziel f und Gleichungsnebenbedingungen g(x)=0, führen die Stationaritätsbedingungen von L bezüglich x und λ zu Kandidaten für eingeschränkte Extrema unter Regularitätsbedingungen.

Demonstration

Maximiere f(x,y)=xy unter x+y=1. L(x,y,λ)=xy+λ(x+y−1). Löse ∂L/∂x= y+λ=0, ∂L/∂y= x+λ=0, ∂L/∂λ= x+y−1=0 um kritische Punkte und λ zu finden, die die Nebenbedingung erzwingen.

Fehlanwendung

Die Methode anwenden, wenn die Gradienten der Nebenbedingungen in der Lösung null sind (Verletzung der Regularität), oder zweite Ableitungsbedingungen und Randverhalten nicht prüfen, kann zu falschen Lösungen führen.

Konsequenz

Gibt notwendige Bedingungen zur Bestimmung eingeschränkter Extrema und interpretiert Multiplikatoren als Sensitivitäten des optimalen Werts gegenüber infinitesimalen Veränderungen der rechten Seiten der Nebenbedingungen (Schattenpreise).

Umkehrung

Man kann Multiplikatoren durch direkte Lösung der Nebenbedingungen (Substitution) eliminieren; Multiplikatoren treten bei impliziter Eliminierung als unbestimmte Konstanten wieder auf.

Abgrenzung

Erfordert differenzierbare Zielfunktion und Nebenbedingungen und gilt für Gleichungsnebenbedingungen; Ungleichungsnebenbedingungen benötigen KKT‑Bedingungen und komplementäre Schlupfbedingungen.

Semantische Spannung

Im Gegensatz zu Straf‑ und Barrierenmethoden: Multiplikatoren erzwingen Nebenbedingungen exakt in Stationarität und liefern duale Informationen, während Strafmethoden Nebenbedingungen approximieren und das Konditionieren verschlechtern können.

Synthese

Ein Lagrange‑Multiplikator ist eine Hilfsvariable, die glatte Gleichungsnebenbedingungen erzwingt, indem eine Lagrange‑Funktion gebildet wird, deren Stationaritätsbedingungen Kandidaten für eingeschränkte Extrema und Sensitivitätsinformationen liefern.