Une variable auxiliaire introduite pour convertir un problème d'optimisation avec contraintes d'égalité différentiables en une condition de stationnarité pour une fonction lagrangienne augmentée, permettant la résolution simultanée des variables et des contraintes.

Principe

Former la Lagrangienne L(x,λ)=f(x)+λᵀ g(x) pour un objectif f et des contraintes d'égalité g(x)=0 ; les points stationnaires de L par rapport à x et λ donnent des candidats aux extrema contraints sous conditions de régularité.

Démonstration

Maximiser f(x,y)=xy sous la contrainte x+y=1. L(x,y,λ)=xy+λ(x+y−1). Résoudre ∂L/∂x= y+λ=0, ∂L/∂y= x+λ=0, ∂L/∂λ= x+y−1=0 pour obtenir les points critiques et λ qui satisfont la contrainte.

Mauvaise application

Appliquer la méthode lorsque les gradients des contraintes s'annulent en la solution (violation de la régularité) ou ne pas vérifier les conditions du second ordre et le comportement en bord peut conduire à des solutions erronées.

Conséquence

Fournit des conditions nécessaires pour trouver des extrema contraints et interprète les multiplicateurs comme les sensibilités de la valeur optimale aux variations infinitésimales des termes constants des contraintes (prix d'ombre).

Inversion

On peut éliminer les multiplicateurs en résolvant explicitement les contraintes (substitution) lorsque c'est possible ; les multiplicateurs réapparaissent comme constantes indéterminées de Lagrange dans l'élimination implicite.

Limite

Exige des fonctions objectif et contraintes différentiables et s'applique aux contraintes d'égalité ; les contraintes d'inégalité requièrent les conditions KKT et la complémentarité.

Tension sémantique

Contrasté avec les méthodes de pénalisation ou barrière : les multiplicateurs imposent les contraintes exactement en stationnarité et fournissent de l'information duale, tandis que les pénalités approchent les contraintes et peuvent dégrader la conditionnement.

Synthèse

Un multiplicateur de Lagrange est une variable auxiliaire qui impose des contraintes d'égalité lisses en formant une Lagrangienne dont les conditions stationnaires donnent des candidats d'extrema contraints et des informations de sensibilité.