Una variable auxiliar introducida para convertir un problema de optimización con restricciones de igualdad diferenciables en una condición de estacionariedad para una lagrangiana aumentada, permitiendo resolver simultáneamente variables y restricciones.

Principio

Formar la lagrangiana L(x,λ)=f(x)+λᵀ g(x) para objetivo f y restricciones de igualdad g(x)=0; los puntos estacionarios de L respecto a x y λ proporcionan candidatos a extremos restringidos bajo condiciones de regularidad.

Demostración

Maximizar f(x,y)=xy sujeto a x+y=1. L(x,y,λ)=xy+λ(x+y−1). Resolver ∂L/∂x= y+λ=0, ∂L/∂y= x+λ=0, ∂L/∂λ= x+y−1=0 para obtener puntos críticos y λ que imponen la restricción.

Aplicación incorrecta

Aplicar el método cuando los gradientes de las restricciones son nulos en la solución (violando regularidad) o no comprobar condiciones de segundo orden y comportamiento en el borde puede producir soluciones espurias.

Consecuencia

Proporciona condiciones necesarias para hallar extremos restringidos e interpreta los multiplicadores como sensibilidades del valor óptimo ante cambios infinitesimales en los términos derechos de las restricciones (precios sombra).

Inversión

Se pueden eliminar los multiplicadores resolviendo explícitamente las restricciones (sustitución) cuando convenga; los multiplicadores reaparecen como constantes indeterminadas de Lagrange en la eliminación implícita.

Límite

Requiere objetivo y restricciones diferenciables y se aplica a restricciones de igualdad; las desigualdades exigen condiciones KKT y consideraciones de complementariedad.

Tensión semántica

Contrastado con métodos de penalización o barrera: los multiplicadores imponen las restricciones exactamente en estacionariedad y proporcionan información dual, mientras que los métodos de penalización aproximan las restricciones y pueden empeorar el condicionamiento.

Síntesis

Un multiplicador de Lagrange es una variable auxiliar que hace cumplir restricciones de igualdad suaves formando una lagrangiana cuyas condiciones de estacionariedad proporcionan candidatos a extremos restringidos e información de sensibilidad.