Eine Darstellung eines Punktes als gewichtete affine Kombination der Eckpunkte eines Simplex, angegeben durch Gewichte, deren Summe eins ergibt; die Koordinaten geben den relativen Beitrag jedes Eckpunktes an.

Prinzip

Affine Zerlegung: Jeder Punkt im affinen Abschluss einer affinen unabhängig gewählten Eckmenge lässt sich eindeutig als konvexe (oder affine) Kombination dieser Eckpunkte darstellen, wenn die Menge ein Simplex bildet.

Demonstration

Für ein Dreieck in der Ebene kann ein innerer Punkt durch drei nichtnegative Gewichte dargestellt werden, die sich zu eins summieren; diese Gewichte entsprechen den orientierten Flächen der Teil-Dreiecke geteilt durch die Fläche des ganzen Dreiecks.

Fehlanwendung

Baryzentrische Koordinaten auf ein entartetes Simplex (kollineare Eckpunkte) anzuwenden und Eindeutigkeit vorauszusetzen, oder nur nichtnegative Gewichte zu fordern, wenn sich der Punkt außerhalb des Simplex befindet, ohne auf vorzeichenbehaftete Gewichte zu achten.

Konsequenz

Affine-invariante Interpolation und einfache Formulierung von Formfunktionen in der Finite-Elemente-Methode und geometrischen Algorithmen; baryzentrische Gewichte transformieren kovariant unter affinen Abbildungen.

Umkehrung

Kartesische Koordinaten bezüglich eines Ursprungs und einer Basis anstelle von Gewichten auf Simplex-Eckpunkten — sie geben absolute Komponenten statt affiner Koeffizienten, die sich zu eins summieren.

Abgrenzung

Definiert in Bezug auf ein gewähltes Simplex (affin unabhängige Eckmenge); die Eindeutigkeit fällt weg, wenn die Eckpunkte affin abhängig sind, und baryzentrische Formeln erfordern das Arbeiten im affinen Abschluss des Simplex.

Semantische Spannung

Homogene Koordinaten versus baryzentrische Koordinaten: Homogene Koordinaten repräsentieren projektive Punkte durch proportionale Tupel, baryzentrische Koordinaten hingegen durch affinely normalisierte Gewichte.

Synthese

Baryzentrische Koordinaten ordnen jedem Punkt im affinen Abschluss eines Simplex ein Tupel von Gewichten zu, das sich zu eins summiert und den Punkt als gewichteten Durchschnitt der Eckpunkte rekonstruiert, was affine-invariante Interpolation ermöglicht.