Una representación de un punto como combinación afín ponderada de los vértices de un simplejo, dada por pesos que suman uno; las coordenadas indican la contribución relativa de cada vértice.

Principio

Descomposición afín: cualquier punto en la envolvente afín de un conjunto de vértices afínmente independientes puede escribirse de forma única como combinación convexa (o afín) de esos vértices cuando el conjunto forma un simplejo.

Demostración

Para un triángulo en el plano, un punto interior se puede expresar mediante tres pesos no negativos que suman uno; esos pesos corresponden a las áreas firmadas de los subtriángulos divididas por el área del triángulo completo.

Aplicación incorrecta

Usar coordenadas baricéntricas en un simplejo degenerado (vértices colineales) y asumir unicidad, o restringir a pesos no negativos cuando el punto está fuera del simplejo sin reconocer pesos con signo.

Consecuencia

Interpolación invariante por afinidad y formulación sencilla de funciones de forma en elementos finitos y algoritmos geométricos; los pesos baricéntricos se transforman covariantemente bajo mapas afines.

Inversión

Coordenadas cartesianas expresadas respecto a un origen y una base en lugar de como pesos sobre vértices de un simplejo: dan componentes absolutas en vez de coeficientes afines normalizados a la suma uno.

Límite

Definidas respecto a un simplejo elegido (conjunto de vértices afínmente independientes); la unicidad falla si los vértices son afínmente dependientes, y las fórmulas baricéntricas requieren trabajar en la envolvente afín del simplejo.

Tensión semántica

Coordenadas homogéneas versus baricéntricas: las coordenadas homogéneas representan puntos proyectivos mediante tuplas proporcionales, mientras que las baricéntricas representan combinaciones afines normalizadas.

Síntesis

Las coordenadas baricéntricas asignan a cada punto de la envolvente afín de un simplejo un tuple de pesos que suman uno y que reconstruyen el punto como la media ponderada de los vértices, facilitando la interpolación invariante por afinidad.