Une représentation d'un point comme combinaison affine pondérée des sommets d'un simplexe, donnée par des poids dont la somme vaut un ; ces poids indiquent la contribution relative de chaque sommet.

Principe

Décomposition affine : tout point de l'enveloppe affine d'un ensemble de sommets affinement indépendants s'exprime de façon unique comme combinaison convexe (ou affine) de ces sommets lorsque l'ensemble forme un simplexe.

Démonstration

Pour un triangle dans le plan, un point à l'intérieur peut s'exprimer par trois poids non négatifs sommant à un ; ces poids correspondent aux aires signées des sous-triangles divisées par l'aire du triangle entier.

Mauvaise application

Employer des coordonnées barycentriques sur un simplexe dégénéré (sommets colinéaires) en supposant l'unicité, ou restreindre aux poids non négatifs alors que le point est à l'extérieur du simplexe sans utiliser les poids signés.

Conséquence

Interpolation invariante par affinité et formulation simple des fonctions de forme en éléments finis et des algorithmes géométriques ; les poids barycentriques se transforment covariamment sous les applications affines.

Inversion

Coordonnées cartésiennes exprimées par rapport à une origine et une base plutôt que comme poids sur les sommets d'un simplexe : elles donnent des composantes absolues plutôt que des coefficients affines sommant à un.

Limite

Définies par rapport à un simplexe choisi (ensemble de sommets affinement indépendants) ; l'unicité échoue si les sommets sont affinement dépendants, et les formules barycentriques exigent de travailler dans l'enveloppe affine du simplexe.

Tension sémantique

Coordonnées homogènes versus barycentriques : les coordonnées homogènes représentent des points projectifs par des tuples proportionnels, alors que les coordonnées barycentriques représentent des combinaisons affines normalisées par la somme à un.

Synthèse

Les coordonnées barycentriques associent à chaque point de l'enveloppe affine d'un simplexe un tuple de poids sommant à un qui reconstruit le point comme moyenne pondérée des sommets, facilitant l'interpolation invariante par affinité.