Die Erwartung der k-ten Potenz der Abweichungen vom Mittelwert, E[(X − E[X])^k], die die Form der Verteilung um den Mittelwert misst; das zweite zentrale Moment ist die Varianz.

Prinzip

Zentrale Momente quantifizieren Streuung, Asymmetrie und Spitzheit relativ zum Mittelwert; sie sind translationsinvariant und stehen in Beziehung zu Kumulanten und Momentenreihen.

Demonstration

Für eine univariate Verteilung misst das zweite zentrale Moment Var(X)=E[(X−μ)^2] die mittlere quadratische Abweichung, während das dritte zentrale Moment E[(X−μ)^3] Vorzeichen und Ausmaß der Schiefe angibt (vor Standardisierung).

Fehlanwendung

Zentrale Momente zu verwenden, wenn die entsprechenden Rohmomente nicht existieren (schwergewichtete Verteilungen), oder zentrale und standardisierte Momente (Division durch Potenzen der Varianz) zu verwechseln, wenn Formen skalenübergreifend verglichen werden.

Konsequenz

Sind sie endlich, liefern zentrale Momente eine Hierarchie von Kennzahlen zur Verteilungsklassifikation und treten in Reihenentwicklungen, momentbasierten Schätzern und Beziehungen zu Kumulanten auf.

Umkehrung

Rohmomente (nicht-zentrale) E[X^k] messen Momente um Null und sind nicht translationsinvariant; sie kodieren ortsabhängige Informationen.

Abgrenzung

Definiert nur, wenn das k-te Moment existiert (endliche Erwartung von |X−E[X]|^k); für Verteilungen ohne solche Momente ist das zentrale Moment undefiniert und andere Beschreiber sind erforderlich.

Semantische Spannung

Zentrale Momente versus Kumulanten: Beide fassen Form und Skala einer Verteilung zusammen, aber Kumulanten haben vorteilhafte additive und Unabhängigkeits-Eigenschaften, während zentrale Momente direkte Maße der Form liefern.

Synthese

Ein zentrales Moment ist das um den Mittelwert berechnete k-te Moment, das eine translationsinvariante Quantifizierung von Streuung und höherordentlichen Formmerkmalen einer Wahrscheinlichkeitsverteilung liefert.