La esperanza de la k-ésima potencia de las desviaciones respecto a la media, E[(X − E[X])^k], que mide la forma de la distribución alrededor de la media; el segundo momento central es la varianza.

Principio

Los momentos centrales cuantifican dispersión, asimetría y apuntamiento en relación con la media; son invariantes por traslación y se relacionan con los cumulantes y expansiones en momentos.

Demostración

Para una distribución univariante, el segundo momento central Var(X)=E[(X−μ)^2] mide la desviación cuadrática media, mientras que el tercer momento central E[(X−μ)^3] indica el signo y la magnitud de la asimetría (antes de estandarizar).

Aplicación incorrecta

Usar momentos centrales cuando los momentos brutos correspondientes no existen (colas pesadas) o confundir momentos centrales con momentos estandarizados (división por potencias de la varianza) al comparar formas entre escalas.

Consecuencia

Cuando son finitos, los momentos centrales ofrecen una jerarquía de métricas para caracterizar distribuciones y aparecen en expansiones en series, estimadores basados en momentos y relaciones con cumulantes.

Inversión

Los momentos brutos (no centrales) E[X^k] miden momentos respecto a cero y no son invariantes por traslación; codifican información dependiente de la ubicación.

Límite

Definido sólo cuando existe el k-ésimo momento (esperanza finita de |X−E[X]|^k); para distribuciones sin tales momentos el momento central es indefinido y se requieren descriptores alternativos.

Tensión semántica

Momentos centrales versus cumulantes: ambos resumen la forma y escala de la distribución, pero los cumulantes tienen mejores propiedades aditivas e de independencia, mientras que los momentos centrales son medidas directas de la forma.

Síntesis

Un momento central es el k-ésimo momento calculado alrededor de la media que proporciona una cuantificación invariante por traslación de la dispersión y de las características de forma de orden superior de una distribución de probabilidad.