L'espérance de la k-ième puissance des écarts à la moyenne, E[(X − E[X])^k], mesurant la forme de la distribution autour de la moyenne ; le deuxième moment central est la variance.

Principe

Les moments centraux quantifient dispersion, asymétrie et aplatissement par rapport à la moyenne ; ils sont invariants par translation et se relient aux cumulants et aux développements en moments.

Démonstration

Pour une loi univariée, le deuxième moment central Var(X)=E[(X−μ)^2] mesure l'écart quadratique moyen, tandis que le troisième moment central E[(X−μ)^3] renseigne sur le signe et l'amplitude de l'asymétrie (avant standardisation).

Mauvaise application

Utiliser des moments centraux quand les moments bruts correspondants n'existent pas (queues épaisses) ou confondre moments centraux et moments standardisés (division par des puissances de la variance) lors de comparaisons d'échelles.

Conséquence

Lorsque finies, les moments centraux fournissent une hiérarchie de mesures pour caractériser une distribution et interviennent dans les développements en séries, les estimateurs basés sur les moments et les relations avec les cumulants.

Inversion

Les moments bruts (non centraux) E[X^k] mesurent les moments autour de zéro et ne sont pas invariants par translation ; ils codent une information dépendante de la localisation.

Limite

Définis seulement quand le k-ième moment existe (espérance finie de |X−E[X]|^k) ; pour des lois sans ces moments le moment central est indéfini et d'autres descripteurs sont nécessaires.

Tension sémantique

Moments centraux versus cumulants : les deux résument la forme et l'échelle de la distribution, mais les cumulants possèdent de meilleures propriétés additives et d'indépendance tandis que les moments centraux donnent une mesure directe de la forme.

Synthèse

Un moment central est le k-ième moment calculé autour de la moyenne qui fournit une quantification invariante par translation de la dispersion et des caractéristiques de forme d'ordre supérieur d'une loi de probabilité.