Eine Familie expliziter und impliziter einstufiger numerischer Integrationsverfahren für gewöhnliche Differentialgleichungen, die die Lösung durch gewichtete Auswertungen der rechten Seite innerhalb jedes Schritts annähern.

Prinzip

Man schreitet von tn nach tn+1 vor, indem man Zwischenabschätzungen der Steigung (Stages) an gewählten Punkten im Schritt berechnet und sie mit Gewichten kombiniert, um eine höherordentliche Inkrement zu erzeugen; Ordnung und Stabilität hängen von den Stage-Koeffizienten und dem impliziten Charakter ab.

Demonstration

Das klassische explizite Verfahren 4. Ordnung berechnet vier Stages k1=f(tn,yn), k2=f(tn+Δt/2, yn+Δt k1/2), k3=f(tn+Δt/2, yn+Δt k2/2), k4=f(tn+Δt, yn+Δt k3) und setzt yn+1 = yn + (Δt/6)(k1+2k2+2k3+k4), was für glatte Probleme lokalen Fehler O(Δt^4) liefert.

Fehlanwendung

Die Anwendung eines expliziten hochordentlichen Runge–Kutta-Verfahrens auf ein steifes System mit großen Eigenwerten der Linearisierung kann unpraktisch kleine Schritte und Instabilität erzwingen; das Vernachlässigen adaptiver Schrittsteuerung bei unregelmäßigen rechten Seiten führt ebenfalls zu Fehlerwachstum.

Konsequenz

Richtig gewählt (Ordnung und Stabilitätsbereich) liefern Runge–Kutta-Verfahren kontrollierte lokale und globale Fehler, sind einfach zu implementieren und lassen sich in adaptive Schrittgrößenregler einbinden.

Umkehrung

Die Umkehridee führt zu Verfahren, die auf multistep-Vergangenheit statt auf interne Stages beruhen; Multistep-Methoden tauschen interne Auswertungen pro Schritt gegen Abhängigkeit von mehreren früheren Werten der Lösung.

Abgrenzung

Gilt für Anfangswertprobleme gewöhnlicher Differentialgleichungen; nicht unmittelbar geeignet für Randwertprobleme ohne Umformulierung, und implizite Varianten erfordern in jedem Schritt nichtlineare Löser.

Semantische Spannung

Konkurrenz bilden lineare Mehrschrittverfahren, die vergangene Schritte wiederverwenden, um Ordnung zu erreichen, jedoch unterschiedliche Stabilitätsbeschränkungen aufweisen; Runge–Kutta betont Stages pro Schritt zur Erzeugung von Ordnung und Einfachheit.

Synthese

Runge–Kutta-Verfahren bauen höherordentliche einstufige Integratoren, indem sie das Differentialoperator innerhalb jedes Schritts abtasten und diese Proben gewichtet kombinieren, um den exakten Fluss unter Abwägung von Genauigkeit und Stabilität zu approximieren.