Una familia de esquemas numéricos de un solo paso, explícitos e implícitos, para la integración de ecuaciones diferenciales ordinarias que aproximan la solución combinando evaluaciones ponderadas del miembro derecho dentro de cada paso.

Principio

Se avanza de tn a tn+1 computando estimaciones de pendientes intermedias (etapas) en puntos elegidos dentro del paso y combinándolas con pesos para producir un incremento de orden superior; el orden y la estabilidad dependen de los coeficientes de las etapas y de si el esquema es implícito.

Demostración

El esquema explícito clásico de orden cuatro calcula cuatro etapas k1=f(tn,yn), k2=f(tn+Δt/2, yn+Δt k1/2), k3=f(tn+Δt/2, yn+Δt k2/2), k4=f(tn+Δt, yn+Δt k3) y fija yn+1 = yn + (Δt/6)(k1+2k2+2k3+k4), produciendo error local O(Δt^4) para problemas suaves.

Aplicación incorrecta

Usar un Runge–Kutta explícito de alto orden en un sistema rígido con autovalores grandes de la linealización puede requerir pasos imprácticamente pequeños y causar inestabilidad; omitir control adaptativo de paso ante miembros derechos irregulares conduce al crecimiento del error.

Consecuencia

Bien elegido (orden y región de estabilidad), un esquema Runge–Kutta proporciona control de error local y global con implementación directa y puede integrarse en controladores adaptativos de paso para eficiencia.

Inversión

Invertido, el enfoque conduce a métodos multipasos que emplean historia previa en lugar de etapas internas; los métodos multipasos cambian evaluaciones internas por dependencia de varios valores pasados de la solución.

Límite

Se aplica a problemas de valor inicial de ecuaciones diferenciales ordinarias; no es directamente adecuado para problemas de valor en la frontera sin reformulación, y las variantes implícitas requieren resolver no lineales en cada paso.

Tensión semántica

Métodos competidores son los métodos lineales multipaso, que reutilizan pasos previos para lograr orden pero presentan diferentes restricciones de estabilidad; Runge–Kutta enfatiza evaluaciones por paso para obtener orden y simplicidad.

Síntesis

Los métodos de Runge–Kutta construyen integradores de un solo paso de orden superior muestreando el operador diferencial dentro de cada paso y combinando esas muestras con pesos para aproximar el flujo exacto equilibrando precisión y estabilidad.