Une famille de schémas d'intégration numérique mono‑pas explicites et implicites pour équations différentielles ordinaires qui approchent la solution en combinant des évaluations pondérées du membre de droite à l'intérieur de chaque pas.

Principe

On progresse de tn à tn+1 en calculant des estimations de pentes intermédiaires (stades) en des points choisis dans le pas et en les combinant avec des poids pour produire un incrément d'ordre élevé ; l'ordre et la stabilité dépendent des coefficients des stades et du caractère implicite du schéma.

Démonstration

Le schéma explicite classique d'ordre quatre calcule quatre stades k1=f(tn,yn), k2=f(tn+Δt/2, yn+Δt k1/2), k3=f(tn+Δt/2, yn+Δt k2/2), k4=f(tn+Δt, yn+Δt k3) et pose yn+1 = yn + (Δt/6)(k1+2k2+2k3+k4), donnant une erreur locale d'ordre O(Δt^4) pour des problèmes réguliers.

Mauvaise application

Employer un Runge–Kutta explicite d'ordre élevé sur un système raide avec de grandes valeurs propres de la linéarisation peut nécessiter des pas de taille impraticablement petits et provoquer de l'instabilité ; de même, omettre un contrôle adaptatif du pas sur des membres de droite irréguliers entraîne la croissance de l'erreur.

Conséquence

correctement choisi (ordre et région de stabilité), un schéma de Runge–Kutta fournit un contrôle des erreurs locales et globales avec une mise en œuvre simple et peut être intégré à des contrôleurs adaptatifs de pas pour l'efficacité.

Inversion

L'inversion conduit à des schémas qui s'appuient sur l'historique multistep plutôt que sur des stades internes ; les méthodes multistep échangent des évaluations internes par pas contre une dépendance à plusieurs valeurs passées de la solution.

Limite

S'applique aux problèmes de valeur initiale pour équations différentielles ordinaires ; pas directement adapté aux problèmes aux limites sans reformulation, et les variantes implicites nécessitent la résolution non linéaire à chaque pas.

Tension sémantique

Approches concurrentes : les méthodes multistep linéaires, qui réutilisent des pas antérieurs pour obtenir l'ordre mais présentent des contraintes de stabilité différentes ; Runge–Kutta privilégie des évaluations par pas pour l'ordre et la simplicité.

Synthèse

Les méthodes de Runge–Kutta construisent des intégrateurs mono‑pas d'ordre élevé en échantillonnant l'opérateur différentiel à l'intérieur de chaque pas et en combinant ces échantillons par des poids pour approcher le flux exact tout en conciliant précision et stabilité.